Mikä on raja, kun x lähestyy äärettömyyttä (1 + a / x) ^ (bx)?

Käyttämällä logaritmia ja l'Hopitalin sääntöä

#lim_ {x infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Käyttämällä korvausta # T = a / x # tai vastaavasti # X = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Käyttämällä logaritmisia ominaisuuksia

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {ab} / t}} e ^ {ab} / tn (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

L'Hopitalin sääntö, #lim_ {t - 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t - 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Siten, #lim_ {x infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t - 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Huomautus: #t - 0 # kuten #x infty #)