Miten yksinkertaistaa root3 (1)?

Vastaus:

#1# tai #1^(1/3)# =#1#

Selitys:

Kuutioitu juuret 1 ovat samat kuin 1: n nostaminen #1/3#. 1 minkä tahansa voiman ollessa vielä 1.

Vastaus:

Työskentelemme todellisissa asioissa #root 3 {1} = 1 #.

Jokaisella ei-nolla-kompleksiluvulla on kolme kuution juuria, joten siellä

#root 3 {1} = 1 tai -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Selitys:

Jos työskentelemme todellisissa numeroissa, me vain huomaamme #root 3 {1} = juuri 3 {1 ^ 3} = 1 #. Oletan, että tämä on monimutkaisia numeroita.

Eräs outoja asioita, jotka selvitämme, kun kaivamme monimutkaisiin numeroihin, on se, että toiminto on #f (z) = e ^ {z} # on säännöllinen. Eksponentiaalinen kasvu on eräänlainen jaksollisen vastakohta, joten tämä on yllätys.

Tärkeintä on Eulerin identiteetti. Minä kutsun sitä Eulerin todellinen identiteetti.

# e ^ {2 p i} = 1 #

Eulerin todellinen identiteetti näyttää # E ^ z # on määräajoin # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z ^ 2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Voimme nostaa Eulerin todellista identiteettiä mihin tahansa kokonaisluvuun # K #:

# e ^ {2 t

Mitä tämä kaikki liittyy kuutiojuuren kanssa? Se on avain. Se kertoo, että on olemassa lukemattomasti ääretön määrä tapoja kirjoittaa niitä. Joillakin niistä on erilaiset kuution juuret kuin toiset. Siksi ei-kokonaisluku-eksponentit aiheuttavat useita arvoja.

Se on kaikki iso käämitys. Yleensä aloitan ne kirjoittamalla:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # kokonaisluku # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Viimeinen vaihe on tietenkin Eulerin kaava # e ^ {theta} = cos-theta + i syntyy theta.

Koska meillä on # 2pi # laukaisutoimintojen jaksoisuus (joka johtuu eksponentiaalisen ja Eulerin kaavan toistuvuudesta) meillä on vain ainutlaatuisia arvoja kolmelle peräkkäiselle # K #s. Arvioimme tätä # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Joten saamme kolme arvoa kuutiojuurelle yhdelle:

#root 3 {1} = 1 tai -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #