Vastaus:
Se on juuri yksi juurista #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # missä #T_n (x) # on # N #Chebyshevin ensimmäinen polynomi. Se on yksi neljästäkymmenestä kuudesta juuresta:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 99 + 428412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Selitys:
# 58 ^ circ # ei ole moninkertainen # 3 ^ circ #. Kertoimet # 1 ^ circ # jotka eivät ole kerrannaisia # 3 ^ circ # eivät ole rakenteeltaan suorat ja kompassit, eivätkä niiden liipaisutoiminnot ole seurausta joidenkin kokonaislukujen koostumuksesta käyttämällä lisäystä, vähennystä, kertomista, jakoa ja neliöjuurta.
Tämä ei tarkoita sitä, että emme voi kirjoittaa mitään ilmaisua #cos 58 ^ circ #. Otetaan asteen merkki merkitseväksi tekijäksi # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i t
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Ei niin hyödyllistä.
Voimme yrittää kirjoittaa polynomin yhtälön, jonka yksi juurista on #cos 58 ^ circ # mutta se on luultavasti liian suuri sovitettavaksi.
# Theta = 2 ^ circ # on #180#th ympyrästä. Siitä asti kun #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # se tarkoittaa #cos 2 ^ circ # täyttää
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Ratkaise tämä # Theta # ensimmäinen. #cos x = cos a # on juuret # x = pm a + 360 ^ circ k, # kokonaisluku # K #.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k tai theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Se on paljon juuria, ja näemme # Theta = 58 ^ circ # heidän keskuudessaan.
Polynomit #T_n (x) #, nimeltään Chebyshev Polynomials ensimmäinen laatu, tyydyttää #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Niillä on kokonaislukukertoimet. Tiedämme ensimmäiset harvat kaksois- ja kolminkertaisen kulman kaavoista:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # niin# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # niin# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # niin # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3-teeta) = 4 kp ^ 3-theta - 3 cos theta quad quad # niin # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Meillä on mukava rekursiosuhde, jota voimme todentaa:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Joten teoriassa voimme tuottaa niitä niin suuriksi # N # kuten me välitämme.
Jos annamme # x = cos theta, # yhtälömme
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
tulee
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha kertoo mielellään, mitä ne ovat. Kirjoitan yhtälön vain, jotta voin testata matematiikkaa:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 99 + 428412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Kyllä, tämä vastaus on pitkä, kiitos Sokratia. Anway, yksi 46-asteisen polynomin juurista kokonaislukukertoimilla on # 58 58 ^ circ #.
