Mikä on e ^ (x ^ 3): n integraali?

Et voi ilmaista tätä integraalia elementtitoimintojen kannalta.

Riippuen siitä, mitä tarvitset integrointia varten, voit valita integrointitavan tai toisen.

Integrointi tehosarjojen kautta

Muista tuo # E ^ x # on analyyttinen #mathbb {R} #, niin #forall x in {{}} seuraavia tasa-arvoja

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

ja tämä tarkoittaa sitä

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Nyt voit integroida:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (summa_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + summa_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integrointi epätäydellisen gamma-toiminnon kautta

Korvaa ensin # T = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Toiminto # E ^ {x ^ 3} # on jatkuva. Tämä tarkoittaa sitä, että sen primitiiviset toiminnot ovat #F: matbb {R} ja {{}} niin että

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

ja tämä on hyvin määritelty, koska toiminto #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # on sellainen, että #t - 0 # se pitää #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, niin että väärä integraali # int_0 ^ s f (t) dt # on rajallinen (kutsun # S = -y ^ 3 #).

Joten sinulla on se

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Huomaa, että #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Tämä tarkoittaa sitä #t - + infty # saamme sen #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, jotta # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Niinpä noudattamalla virheellistä integraalia #F (t) # on rajallinen:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Voimme kirjoittaa:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

tuo on

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Lopulta saamme

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 gamma (1/3, -x ^ 3) #