Mikä on cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Vastaus:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Selitys:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Käytä nyt #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1 y ^ 2)) #, saamme,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Vastaus:

Summa-kulma-kaavan avulla

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (s sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = {{{q} {3}} / 6 pm / 13 #

Selitys:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Nämä kysymykset ovat tarpeeksi sekavia funky käänteisen funktion merkinnällä. Tämänkaltaisten kysymysten todellinen ongelma on yleensä parhaiten käsitellä käänteisiä toimintoja moniarvoisina, mikä voi tarkoittaa sitä, että lausekkeella on myös useita arvoja.

Voimme myös tarkastella arvoa # X # käänteisten toimintojen pääarvosta, mutta jätän sen muille.

Joka tapauksessa, tämä on kahden kulman summan kosinus, ja se tarkoittaa, että käytämme sumakulma kaavaa:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Käänteisen kosinin ja käänteisen sinin sinisen kosiini on helppoa. Käänteisen sininin ja käänteisen kosinin sinisen kosinus on myös suoraviivaista, mutta monenvälinen ongelma tulee.

Yleensä tulee olemaan kaksi ei-koterminaalista kulmaa, jotka jakavat tietyn kosinin, toisistaan poikkeamat, joiden sines on toistensa kielteisiä. Yleensä on kaksi ei-koterminaalista kulmaa, jotka jakavat tietyn sinisen, täydentävän kulman, joilla on kosinit, jotka ovat toistensa kielteisiä. Joten molemmilla tavoilla me a # Pm #. Yhtälömme on kaksi # Pm # ja on tärkeää huomata, että ne ovat riippumattomia, irrottamattomia.

Otetaan #arcsin (1/2) # ensimmäinen. Tämä on tietysti yksi trigin kliseistä, # -30 ^ circ # tai # -150 ^ circ #. Kosiniinit tulevat olemaan # + sqrt {3} / 2 # ja # - sqrt {3} / 2 # vastaavasti.

Meidän ei todellakaan tarvitse harkita kulmaa. Voimme ajatella oikeaa kolmiota, jossa on vastakkainen 1 ja hypotenuse 2, ja keksiä vierekkäiset # Sqrt {3} # ja kosininen # sqrt {3} / 2 #. Tai jos se on liikaa ajattelua, siitä lähtien # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # sitten #cos (theta) = pmq {1 - sin ^ 2 theta} # joka mekaanisesti antaa meille mahdollisuuden sanoa:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm qrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Samalla lailla, #5,12,13# on Pythagorean Triple, jota täällä käytetään

#sin (arccos (5/3)) = pmq {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (s sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 qrt {3}} / 6 pm 6/13 #