Kello, jonka pituus on 12, kulkee pi / 12: sta pi / 6 radiaaniin ympyrällä. Mikä on ympyrän alue?

Vastaus:

Piirin ympyrä on

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Selitys:

Yllä oleva kuva kuvastaa ongelmassa asetettuja ehtoja. Kaikki kulmat (suurennettu ymmärryksen parantamiseksi) ovat radiaaneja laskettaessa vaakasuorasta X-akselista #HÄRKÄ# vastapäivään.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Meidän on löydettävä ympyrän säde sen alueen määrittämiseksi.

Tiedämme, että sointu # AB # on pitkä #12# ja säteiden välinen kulma # OA # ja # OB # (missä # O # on ympyrän keskipiste)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Rakenna korkeus #VAI NIIN# kolmiota #Delta AOB # pisteestä # O # sivulle # AB #. Siitä asti kun #Delta AOB # on tasalaatuinen #VAI NIIN# on mediaani ja kulmabisektori:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Harkitse oikea kolmio #Delta AOH #.

Tiedämme, että katetus # AH = 6 # ja kulma # / _ AOH = pi / 24 #.

Siksi hypotenuse # OA #, joka on ympyränsä säde # R #, vastaa

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Kun tiedät säteen, voimme löytää alueen:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Ilmaistakaa tämä ilman trigonometrisiä toimintoja.

Siitä asti kun

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

voimme ilmaista alueen seuraavasti:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Toinen trigonometrinen identiteetti:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Siksi,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Nyt voimme edustaa ympyrän aluetta

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Vastaus:

Toinen lähestymistapa sama tulos

Selitys:

Yllä olevassa kuvassa oleva pituus 12 oleva akordi AB alkaa# Pi / 12 # että # Pi / 6 # säteellä R ja keskellä O, joka on lähtöisin.

# / _ AOX = pi / 12 # ja # / _ BOX = pi / 6 #

Niinpä polaarinen A-koordinaatti # = (R, pi / 12) # ja B: n # = (R, pi / 6) #

Etäisyyskaavan käyttö polaarikoordinaatille

akordin AB pituus,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Joten ympyrän alue

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #