T_n (x) on asteen n Chebyshev-polynomi. FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Miten osoitat, että tämän FCF: n 18-sd-arvo n = 2, x = 1,25 on # 6.00560689395441650?

Vastaus:

Katso tämän monimutkaisen FCF: n selitys ja super Sokraattiset kaaviot

Selitys:

y on hyperbolinen kosiniarvo, ja niin, #abs y> = 1 # ja FCF

kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

FCF luo

# Y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Diskreetti analogi y: n arvioimiseksi on epälineaarinen ero

yhtälö

# Y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Tässä x = 1,25.

37 iteraatiota, käynnistin # y_0 = cosh (1) = 1,54308.. #, pitkä tarkkuus 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6.00560689395441650 #

kanssa # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #, tätä tarkkuutta varten.

kaavio {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1,25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-1,00) = 0 -2 2 0 10}

Kaavio 6-sd: lle y: ssä (1,25) = 6,00561:

kaavio {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Odotan tämän tyyppisen FCF: n sovelluksia tietokoneessa

arvioita.

Huomaa, että huolimatta siitä, että se on tasainen, keskellä, kuvaaja on poissa, ja tämä on epäjatkuvuus.

FCF (Functional Continued Fraction) cosh_ (cf) (x; a) = cosh (x + a / cosh (x + a / cosh (x + ...))). Miten osoitat, että tämä FCF on tasainen funktio sekä x: n että a: n suhteen, yhdessä? Ja cosh_ (cf) (x; a) ja cosh_ (cf) (-x; a) ovat erilaisia?

Cosh_ (cf) (x; a) = cosh_ (cf) (- x; a) ja cosh_ (cf) (x; -a) = cosh_ (cf) (- x; -a). Koska cosh-arvot ovat> = 1, mikä tahansa y tässä> = 1 Näytetään, että y = cosh (x + 1 / y) = cosh (-x + 1 / y) Kuvaajat tehdään osoittamalla a = + -1. FCF: n vastaavat kaksi rakennetta ovat erilaisia. Kuvaaja y = cosh (x + 1 / y). Huomaa, että a = 1, x> = - 1 kuvaaja {x-ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) + 1 / y = 0} Kaavio y = cosh (-x + 1 / y). Huomaa, että a = 1, x <= 1 käyrä {x + ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) -1 / y = 0} Yhdistetty kaavio y = cosh (x + 1 / y) ja y = cosh (-

Eksponentiaaliluokan funktionaalinen jatkuva fraktio (FCF) määritellään a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Kun asetat a = e = 2,718281828 .., miten osoitat, että e_ (cf) (0,1; 1) = 1,880789470, lähes?

Katso selitys ... Olkoon t = a_ (cf) (x; b) Sitten: t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) Toisin sanoen t on kartoituksen kiinteä kohta: F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) Huomaa, että t on F: n kiinteä piste (t), joka ei riitä osoittamaan, että t = a_ (cf) (x, b). Voi olla epävakaa ja vakaa kiinteä piste. Esimerkiksi 2016 ^ (1/2016) on kiinteä piste x -> x ^ x, mutta se ei ole ratkaisu x ^ (x ^ (x ^ (x ^ ...))) = 2016 (on ei ole ratkaisua). Tarkastellaan kuitenkin a = e, x = 0,1, b = 1,0 ja

Chebyshevin käyttö Polynomi T_n (x) = cosh (n (kaari cosh (x))), x> = 1 ja toistuvuussuhde T_ (n + 2) (x) = 2xT_ (n + 1) (x) - T_n ( x), jossa T_0 (x) = 1 ja T_1 (x) = x, miten porve, että cosh (7 kaari cosh (1,5)) = 421,5?

T_0 (1,5) tai lyhyesti, T_0 = 1. T_1 = 1,5 T2 = 2 (1,5) (1,5) T_1-T_0 = 4,5-1 = 3,5, käyttäen T_n = 2xT_ (n-1) -T_ (n-2), n> = 2. T_3 = 3 (3,5) -1,5 = 9 T_4 = 3 (9) -3,5 = 23,5 T5 = 3 (23,5) -9 = 61,5 T_6 = 3 (61,5) -23,5 = 161 T7 = 3 (161) -61,5 = 421,5 Wikistä Chebyshev Polynomials Table,. # T_7 (x) = 64x ^ 7-112x ^ 5 + 56x ^ 3-7x