Kaksi reilua reilua kuusipuolista noppaa heitetään kahdeksan kertaa. Etsi todennäköisyys, että pistemäärä, joka on suurempi kuin 7, on sijoitettu enintään viisi kertaa?

Vastaus:

#~=0.9391#

Selitys:

Ennen kuin pääsemme itse kysymykseen, puhutaan siitä, miten se ratkaistaan.

Sanotaan esimerkiksi, että haluan ottaa huomioon kaikki mahdolliset tulokset, jotka aiheutuvat reilun kolikon kääntämisestä kolme kertaa. Voin saada HHH, TTT, TTH ja HHT.

H: n todennäköisyys on #1/2# ja T: n todennäköisyys on myös #1/2#.

HHH: lle ja TTT: lle # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # kukin.

TTH: lle ja HHT: lle se on myös # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # jokainen, mutta koska on kolme tapaa saada jokainen tulos, se päätyy olemaan # 3xx1 / 8 = 3/8 # kukin.

Kun yhteenvedan nämä tulokset, saan #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - mikä tarkoittaa, että minulla on nyt kaikki mahdolliset tulokset kolikon kääntämisestä.

Huomaa, että jos asetan # H # olla # P # ja siksi on # T # olla # ~ P #, ja huomaa myös, että meillä on linja Pascalin kolmiosta #(1,3,3,1)#, olemme asettaneet lomakkeen seuraavasti:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

ja näin tässä esimerkissä saamme:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Nyt voimme tehdä ongelman.

Olemme antaneet telojen määrän 8: ksi # N = 8 #.

# P # on summa, joka on suurempi kuin 7. Jos haluat löytää todennäköisyyden saada summa, joka on suurempi kuin 7, tarkastellaan mahdollisia rullia:

# ((Väri (valkoinen) (0), UL1, UL2, UL3, ul4, UL5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

36 vaihtoehdosta 15 rullaa antaa summan, joka on suurempi kuin 36, mikä antaa todennäköisyyden #15/36=5/12#.

Kanssa # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Voimme kirjoittaa koko mahdollisuuksien summan - siitä, että kaikki 8 rullaa on summa, joka on suurempi kuin 7, jotta kaikki 8 rullaa olisi 7 tai vähemmän:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

mutta olemme kiinnostuneita yhteenvetoon vain ne ehdot, joiden summa on yli seitsemän kertaa vähintään viisi kertaa:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Vastaus:

#0.93906#

Selitys:

# "Joten P lopputulos> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "esiintyy k kertaa 8 heitolla" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomijakauma)" #

# ", jossa" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(yhdistelmät)" #

# "Niin,"

#P "se esiintyy korkeintaan 5 kertaa 8 heitolla" #

# = 1 - P "se esiintyy 6, 7 tai 8 kertaa 8 heitolla" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#