Onko käyrällä y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, jossa tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa?

Vastaus:

Tällaista pistettä ei ole, mikäli minun matematiikkani menee.

Selitys:

Tarkastellaan ensin tangentin olosuhteita, jos se on samansuuntainen # X #akselilla. Koska # X #-axis on vaakasuora, minkä tahansa sen kanssa samansuuntaisen linjan on oltava myös vaakasuora; Tästä seuraa, että tangenttiviiva on vaakasuora. Ja tietenkin horisontaaliset tangentit esiintyvät, kun johdannainen on yhtä suuri #0#.

Siksi meidän on ensin aloitettava löytämällä tämän hirvittävän yhtälön johdannainen, joka voidaan toteuttaa implisiittisellä erottelulla:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) lnx #

Käyttämällä summaussääntöä, ketjusääntöä, tuotesääntöä, osamääräystä ja algebraa meillä on:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Vau … se oli voimakasta. Nyt asetimme johdannaisen #0# ja katso, mitä tapahtuu.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -Ylnx-y = lnx + 1 #

# -Y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# Y = -1 #

Mielenkiintoista. Liitä nyt # Y = -1 # ja katso mitä saamme # X #:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Koska tämä on ristiriita, päätämme, ettei ole mitään kohtaa, jotka täyttävät tämän ehdon.

Vastaus:

Tällaista tangenttia ei ole olemassa.

Selitys:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) ekviv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Soita nyt #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # meillä on

#df = f_x dx + f_y dy = (osittainen u) / (osittainen x) dx + (osittainen v) / (osittainen y) dy = 0 # sitten

# dy / dx = - ((osittainen u) / (osittainen x)) / ((osittainen v) / (osittainen y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Me näemme sen # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # mutta näiden arvojen on tarkistettava:

#f (x, y_0) = 0 # ja

#f (x_0, y) = 0 #

Ensimmäisessä tapauksessa # y_0 = 1 # meillä on

# x ^ x = -1 # joka ei ole saavutettavissa todellisella alueella.

Toisessa tapauksessa # x_0 = e ^ {- 1} # meillä on

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # tai

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

mutta

# y / (y + 1) log_e y> -1 # niin ei myöskään ole todellista ratkaisua.

Loppujen lopuksi ei ole sellaista tangenttia.

Vastaus:

Tohtorin, Cawa K: n, x = 1 / e, vastaus on tarkka.

Selitys:

Olin ehdottanut tätä kysymystä saadakseni tämän arvon tarkasti. Kiitokset

Tohtori Cawas on ratkaiseva vastaus, joka hyväksyy ilmoituksen

kaksinkertainen tarkkuus y 'pysyy 0 tämän jakson aikana. y on

jatkuva ja eriytettävä x = 1 / e. Kuten molemmat 17-sd kaksinkertainen

tarkkuus y ja y 'ovat 0, tässä aikavälissä x = 1 / e, se oli a

oletetaan, että x-akseli koskettaa välissä olevaa kuvaa. Ja nyt, se on

osoittautui. Mielestäni kosketus on transsendenttinen..