Miten löydät asymptootit y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Vastaus:

Pystysuora

# X = 1 #

# X = 3 #

vaakasuora

# X = 1 # (molemmille # + - oo #)

Vino

Ei ole olemassa

Selitys:

Päästää # Y = f (x) #

• Vertikaaliset asymptootit

Etsi toiminnon rajat, koska se pyrkii rajoittamaan sen toimialueen rajoja, paitsi äärettömyyttä. Jos heidän tuloksensa on ääretön # X # rivi on asymptootti. Täällä verkkotunnus on:

#x kohdassa (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Joten 4 mahdollinen pystysuorat asymptootit ovat:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

asymptootti # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Vertikaalinen asymptoosi # X = 1 #

Huomaa: varten # X-1 # siitä asti kun # X # on hieman pienempi kuin 1, tulos on hieman pienempi kuin 0, joten merkki on negatiivinen, joten huomautus #0^-# joka myöhemmin muuttuu negatiiviseksi merkiksi.

Vahvistus asymptootille # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Vahvistettu

asymptootti # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Vertikaalinen asymptoosi # X = 3 #

Vahvistus asymptootille # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Vahvistettu

• Horisontaaliset asymptootit

Etsi molemmat rajat, kun funktio pyrkii # + - oo #

Miinus ääretön #X -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (peruuta (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (peruuta (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Vaakasuuntainen asymptoosi # Y = 1 #

Plus ääretön #X -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (peruuta (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (peruuta (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Vaakasuuntainen asymptoosi # Y = 1 #

Huomaa: vain niin tapahtuu, että tällä toiminnolla on yhteinen vaakasuora molemmille # -Oo # ja # + Oo #. Tarkista aina molemmat.

• Viistot asymptootit

Sinun on ensin löydettävä molemmat rajat:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Jos jokainen tämä raja on todellinen numero, niin asymptootti on olemassa ja raja on sen kaltevuus. # Y # kukin raja on raja:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Voit kuitenkin pelastaa meidät vaivaa käyttämällä jotakin toimintoa "tietämys" tämän välttämiseksi. Koska tiedämme #F (x) # on horisontaalinen asymptoote molemmille # + - oo # ainoa tapa, jolla vino on, on toinen linja #X -> + - oo #. Kuitenkin, #F (x) # on #1-1# toimivat, joten ei voi olla kaksi # Y # arvot # X #siten toinen rivi on mahdotonta, joten vinoa asymptoottia ei ole mahdollista.