Mikä on aaltofunktio ja mitä vaatimuksia sen on oltava hyvin käyttäytyvää, eli että se edustaa fyysistä todellisuutta oikein?

Vastaus:

Aaltofunktio on monimutkainen arvostettu toiminto, jonka amplitudi (absoluuttinen arvo) antaa todennäköisyysjakauman. Se ei kuitenkaan toimi samalla tavalla kuin tavallinen aalto.

Selitys:

Kvanttimekaniikassa puhumme järjestelmän tilasta. Yksi yksinkertaisimmista esimerkeistä on hiukkanen, joka voi olla ylös tai alas spin, esimerkiksi elektroni. Kun mittaamme järjestelmän pyörimistä, mittaamme sen joko ylös tai alas. Valtio, jolla olemme varmoja mittauksen tuloksesta, me kutsumme eigenstate (yksi ylös tila) # Uarr # ja yksi alaspäin # Darr #).

On myös tiloja, joissa olemme epävarmoja mittaustuloksesta ennen sen mittaamista. Näissä tiloissa me kutsumme superposition ja voimme kirjoittaa ne alas # A * uarr + b * darr #. Tässä meillä on # | En | ^ 2 # mittauksen todennäköisyys # Uarr #, ja # | B | ^ 2 # mittauksen todennäköisyys # Darr #. Tämä tarkoittaa tietenkin sitä # | En | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Me sallimme # A, b # monimutkaisina numeroina, syy tähän ei ole heti selvä tästä esimerkistä, vaan aaltofunktion yhteydessä se on selvempi. Tärkeintä on, että on enemmän tiloja kuin yksi, joka antaa samat todennäköisyydet pyörien mittaamiseksi.

Nyt voimme yrittää määrittää funktion tähän spin-tilaan. Koska spinin mittauksen tuloksista on vain kaksi, meillä on toiminto, jolla on vain kaksi mahdollista tuloa. Jos kutsumme toimintoa # Psi # (Tämä on hyvin tavanomainen symboli, jota käytetään aaltomuodossa), asetimme #psi (uarr) = a # ja #psi (darr) = b #.

Nyt käännymme aaltofunktioon. Hiukkasen yksi näkökohta on tietenkin sen sijainti. Aivan kuten spinissä, voimme mitata sijainnin eri arvoja, ja voimme saada tiloja, joissa mittauksen lopputulos ei ole vahvistettu etukäteen. Koska meillä on lukemattomia ääretön määrä paikkoja, joissa voi olla hiukkasia, kirjoita tämä tila alas # A * "täällä" + b * "siellä" # ei tee. Kuitenkin ajatus toiminnasta, jota olemme käyttäneet edellä. Joten missä tahansa paikassa # X #, meillä on monimutkainen arvo #psi (x) #. Hiukkasen todennäköisyystiheysfunktio on nyt annettu # | Psi (x) | ^ 2 #.

Kaiken oikeudenmukaisesti historiallisesti ajatus aaltofunktiosta on vanhempi kuin spin, mutta mielestäni ymmärrystä spinistä tietyssä määrin auttaa ymmärtämään aaltofunktiota.

Ensinnäkin, miksi aaltofunktiokompleksi arvostetaan? Ensimmäinen syy löytyy häiriön ideasta. Hiukkasen aaltofunktio voi häiritä itseään. Tämä häiriö liittyy aaltofunktioiden lisäämiseen, jos aaltofunktiot antavat saman absoluuttisen arvon tietyssä pisteessä, niin todennäköisyys, että partikkeli mitataan tämän pisteen ympärillä, on samanlainen. Funktion arvot voivat kuitenkin olla erilaisia, jos ne ovat samat, niiden lisääminen tekee amplitudista tai todennäköisyystiheydestä 4 (#|2|^2#) kertaa suurempi (rakentava häiriö), ja jos ne poikkeavat merkistä, ne kieltävät toisensa (tuhoisat häiriöt). Kuitenkin voi myös erota esimerkiksi tekijä # I #, eli todennäköisyystiheys muuttuu #2# kertaa suurempi. Tiedämme, että kaikki nämä häiriöt voivat esiintyä. Joten tämä osoittaa kohti kompleksista arvostettua aaltofunktiota, kuten edellä on kuvattu.

Toinen syy löytyy Schrödingerin yhtälöstä. Aluksi ajateltiin, että nämä aaltofunktiot käyttäytyivät aivan kuten klassiset aallot. Kuitenkin, kun Schrödinger yritti kuvata näiden aaltojen käyttäytymistä tai ainakin niiden kehittymistä ajan kuluessa, hän havaitsi, että klassista aaltoja koskeva yhtälö ei ollut riittävä. Jotta se toimisi, hänen oli otettava yhtälöön monimutkainen luku, joka johti siihen johtopäätökseen, että myös itse funktion täytyy olla monimutkainen, ja yhtälössä esiintyvien johdannaisten järjestys eroaa klassisesta aaltoyhtälöstä.

Tämä ero yhtälöissä vastaa myös toiseen kysymykseesi. Koska aaltofunktion kehittyminen eroaa niin paljon kuin klassisen aallon kehittyminen, emme voi käyttää samoja menetelmiä, joita käytämme klassisessa aaltofysiikassa. On tietysti mahdollista käyttää geometrisia argumentteja, mutta se ei riitä kuvaamaan kaikkia kvanttifysiikan ilmiöitä. Sitä paitsi, vaikka aaltofunktio antaa paljon tietoa hiukkasen tilasta, se ei kerro mitään siitä sen spinistä, koska havaittavissa olevat spinit ja sijainti ovat vähän tekemistä toistensa kanssa.

Ehkä minä tulkitsen väärin geometrisen luonteen. Voisitteko ehkä antaa esimerkin siitä, mitä tarkoitat. Ehkä voisin auttaa sinua edelleen.

aaltofunktio esittää kvanttimekaanisen järjestelmän, kuten atomin tai molekyylin tilaa.

Se voidaan esittää joko # Psi #, ajasta riippumaton aaltofunktio, tai # Psi #, ajasta riippuvainen aaltofunktio.

Koska Aalto toiminto ilmeisesti edustaa järjestelmää, joka käyttäytyy kuin a Aalto (Ei ole sattumaa, että sitä kutsutaan Aalto toiminto!), olisimme yleensä odottaneet rajoittamaton aaltofunktiolla ei ole rajoja. Harkitse sitä, että # Sinx # ja # Cosx #, kaksi funktiota, jotka ovat selvästi aaltoja, sisältävät verkkotunnuksia # (- oo, oo) #.

ESIMERKKI: VUODEN TOIMINTA ORBIITTEILLE

Otetaan kuitenkin esimerkiksi kiertoradat. On oltava joukko reunaehdot kiertoradalle, koska ilmeisesti kiertoradat eivät ole äärettömän suuria.

Aaltofunktio voi kuvata lineaarinen yhdistelmä atomirakeita muodostaa molekyylirakeita:

#color (sininen) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = väri (sininen) (c_1fi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +.

missä # C_i # on laajennuskerroin - osoitetaan kunkin atomin orbitaalin vaikutus kyseiseen tiettyyn molekyyliorbitaaliin, ja. t # Phi_i ^ "AO" # on kokeellinen / kokeellinen aalto-toiminto jokaiselle atomikerrokselle.

Koska aaltofunktion on kyettävä edustamaan kiertorataa, sen on oltava positiivinen säde (#r> 0 #) ja aaltofunktion on oltava yksittäinen -arvostettu, suljettu , jatkuva , ortogonaaliset kaikkiin niihin liittyviin aaltotoimintoihin ja normalizable .

Toisin sanoen, sen on läpäistävä pystysuoran linjan testi, sillä on rajallinen alue käyrän alapuolella, niillä ei ole hyppyjä / epäjatkuvuuksia / asymptooteja / taukoja ja täytettävä seuraavat kaksi yhtälöä:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(aaltofunktion integraali ja sen kompleksinen konjugaatti on #0# jos aaltotoiminnot ovat erilaisia

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(aaltofunktion integraali ja sen kompleksinen konjugaatti normalisoidaan siten, että se on yhtä suuri #1# jos aaltofunktiot ovat samanlaisia kuin merkki # PMI #)

Yksi esimerkki yhtälöstä aaltofunktiolle vetyatomin pallomaisissa koordinaateissa on:

#color (sininen) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = väri (sininen) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Ajattelin, että käytin itse asiassa aikaa sen normalisoimiseksi. Otin jopa aikaa tarkistaa ortogonaalisuuden kahden muun kanssa # 2p # aalto-toiminnot.: P

Juuri siinä tapauksessa, tässä on lisäosa siitä, mitä olen linkittänyt edellä Scratchpadsissa.

#' '#

Normalisointi

# 2p_z # aaltoradan aaltofunktio on:

#psi_ (2PZ) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

On # 2p_z # aaltofunktiolle Todella normalisoitu? OTETAAN SELVÄÄ!

# matbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thet theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (vihreä) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetadeta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Nyt tutkimalla vain radiaalista osaa, joka on hullu osa … anna neljännes integraatio osien alkaessa!

VUODEN TOIMINTAJÄRJESTELMÄN ARVIOINTI

Osa 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Päästää:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 e e ((- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Osa 2

Päästää:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Osa 3

Päästää:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Osa 4

Päästää:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))DR}}#

Laajennus / YKSINKERTAISTAMINEN

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

ARVIOINTI-VALMISMERKKI

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Ensimmäinen puoli peruuttaa olla #0#:

# = peruuta ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Toinen puoli yksinkertaistaa olla # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = peruuta (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) (1) peruuta ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + peruuta (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + peruuta (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + peruuta (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Nyt tarkastellaan uudelleen aaltofunktiota kokonaisuutena …

#psi_ (2PZ) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (peruuta (32) peruuta (pi)) peruuta ((Z / a_0) ^ 5) (peruuta (16) peruuta ((a_0 / Z) ^ 5)) (peruuta (2) peruuta (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (sininen) (1 = 1) #

JOO! ONE ON EQUAL ONE! Tarkoitan…

Aaltofunktio on todellakin normalisoitu!: D

2p-aaltotoimintojen keskinäisen ortogonaalisuuden osoittaminen

Valitse seuraavat aaltofunktiot:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) Costeta #

Näyttääksesi ne ovat ortogonaalisia, meidän on näytettävä ainakin yksi niistä:

#int _ ("kaikki tila") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Ja induktiosta voimme viitata loput, koska säteittäiset komponentit ovat identtisiä. Toisin sanoen:

# matbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (vihreä) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) synti ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Radiaalinen osa osoittautuu # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Arvioimme siis kulmaosat.

# Theta # osa:

#color (vihreä) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Päästää:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = väri (vihreä) (0) #

Ja nyt # Phi # osa:

#color (vihreä) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Päästää:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = väri (vihreä) (0) #

Siksi meillä on yleisesti:

#color (sininen) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) synti ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = peruuta (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) (0) #

# = väri (sininen) (0) #

Siitä asti kun

#int _ ("kaikki tila") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # ja # 2p_x # atomipallot ovat ortogonaalisia.

Todella, tärkein ero käyttämällä # 2p_y # Yhtälö on, että saat sen sijaan:

#color (vihreä) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Samat asiat" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Ja niin:

#color (sininen) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = väri (sininen) (0) #

Kerrotaan #0# muiden integraalien avulla, joten koko integraali katoaa ja:

#int _ ("kaikki tila") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

näin ollen # 2p_x # ja # 2p_y # atomipallot ovat ortogonaalisia.

Lopuksi # 2p_y # vs. # 2p_z #:

#color (vihreä) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Samat asiat" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Tiedämme sen # Theta # erottamaton:

#color (sininen) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = väri (sininen) (0) #

Ja niin koko integraali katoaa jälleen, ja todellakin # 2p_y # ja # 2p_z # myös kiertoradat ovat ortogonaalisia!