On olemassa kolme peräkkäistä positiivista kokonaislukua siten, että pienimpien kahden neliön summa on 221. Mitkä ovat numerot?

Vastaus:

On #10, 11, 12#.

Selitys:

Voimme soittaa ensimmäiseen numeroon # N #. Toisen numeron on oltava peräkkäinen, joten se tulee olemaan # N + 1 # ja kolmas on # N + 2 #.

Tässä annetaan ehto, että ensimmäisen numeron neliö # N ^ 2 # plus seuraavan numeron neliö # (N + 1) ^ 2 # on 221. Voimme kirjoittaa

# N ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = 221 #

# N ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 221 #

# 2n ^ 2 + 2n = 220 #

# N ^ 2 + n = 110 #

Nyt meillä on kaksi menetelmää tämän yhtälön ratkaisemiseksi. Vielä yksi mekaniikka, yksi taiteellisempi.

Mekaniikan on ratkaistava toisen asteen yhtälö # N ^ 2 + n-110 = 0 # sovellettaessa kaavaa toisen asteen yhtälöille.

Taiteellinen tapa on kirjoittaa

#n (n + 1) = 110 #

ja huomaa, että haluamme, että kahden peräkkäisen numeron tuote on #110#. Koska numerot ovat kokonaislukuja, voimme etsiä näitä numeroita tekijöissä #110#. Miten voimme kirjoittaa #110#?

Esimerkiksi huomaamme, että voimme kirjoittaa sen #110=10*11#.

Näyttää siltä, että löysimme peräkkäiset numeromme!

#n (n + 1) = 10 * 11 #.

Sitten # n = 10, n + 1 = 11 # ja kolmas numero (ei ole kovin hyödyllinen ongelmaan) # N + 2 = 12 #.