Vastaus:
#3#
Selitys:
Päästää
# X = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
missä me rajoitamme ratkaisumme positiiviseksi, koska otamme vain positiivisen neliöjuuren, ts. #X> = 0 #. Kummallakin puolella on squaring
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Kun tällä kertaa me rajoitamme vasemman puolen olevan positiivinen, koska haluamme vain positiivisen neliöjuuren eli.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
jossa olemme poistaneet mahdollisuuden #X <= - sqrt (7) # käyttämällä ensimmäistä rajoitustamme.
Jälleen kerran molemmin puolin olemme
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Ilmaisu toistetuissa neliöjuurissa on alkuperäinen ilmaisu # X #, siksi
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
tai
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Tämän yhtälön kokeiluratkaisut ovat # X = -2 # ja # X = + 3 # joka johtaa seuraavaan faktorointiin
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Käyttämällä kolmatta kaavaa kolmannella tekijällä # (X ^ 2 + x-7) = 0 # antaa meille kaksi juurta:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "ja" -3.19 #
Polynomin neljä juuria ovat siis #-3.19…, -2, 2.19…, # ja #3#. Vain yksi näistä arvoista täyttää rajoituksemme #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, siksi
# X = 3 #
Vastaus:
Toinen tapa
Selitys:
Haluan keskustella hankalasta tavasta saada ratkaisu yhdellä silmäyksellä toistuvien neliöjuurien ongelmiin, kuten seuraavaan
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
missä # r # kuuluu seuraavaan sarjaan
#3,7,13,21,31…………#, jonka yleinen termi on
# M ^ 2-m + 1 # missä # m epsilon N # ja #M> 1 #
TEMPPU
Jos 1 on vähennetty annetusta Numerosta # M ^ 2-m + 1 # tuloksena oleva numero tulee # M ^ 2-m # mikä on #m (m-1) # ja mikä ei ole muuta kuin kahden peräkkäisen numeron tuote ja suurempi näistä kahdesta on ongelman ainutlaatuinen ratkaisu.
kun r = # M ^ 2-m + 1 # tekijä # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # ja m on vastaus
kun r = 3, vastaus on (3-1) = 2 = 1,2 ja 2
kun r = 7, vastaus on (7-1) = 6 = 2,3 ja 3
ja niin edelleen…….
Selitys
ottaen
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Rajaa molemmat puolet
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Jälleen Squaring molemmin puolin
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
asetetaan r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
jos laitamme x = m tämän yhtälön LHS: ään, LHS tulee
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (peruuta (m ^ 2) - peruuta (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
yhtälö on tyytyväinen.
Näin ollen m on vastaus
Let's laittaa
# x = sqrt (7 + sqrt (7 sqrt (7 sqrt.
Voimme helposti nähdä sen
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Ratkaise siis yhtälö:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Tämä ei ole ratkaiseva triviaalinen yhtälö. Yksi muista kysymykseen vastanneista henkilöistä antoi ratkaisun 3. Jos yrität sitä, näet sen olevan totta.
