Mikä on kolmion, jonka pisteet ovat O (0,0), P (a, b) ja Q (c, d) #, orthocenter?

Vastaus:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Selitys:

Olen yleistynyt tämän vanhan kysymyksen pikemminkin kuin pyytänyt uutta. Tein tämän aikaisemmin ympärileikkauskysymykseen ja mitään pahaa ei tapahtunut, joten jatkan sarjaa.

Ennen kuin laitoin yhden kärjen alkuperään, yritin pitää algebra-ohjattavan. Mielivaltainen kolmio on helposti käännettävissä ja tulos käännetään helposti takaisin.

Ortokeskus on kolmion korkeuden leikkauspiste. Sen olemassaolo perustuu teoriaan, että kolmion korkeus leikkaa pisteessä. Sanomme, että kolme korkeutta ovat samanaikainen.

Todistetaan, että kolmion OPQ korkeudet ovat samanaikaisia.

Sivun OP suunnan vektori on # P-O = P = (a, b), # joka on vain hieno tapa sanoa rinne on # B / A # (mutta suunta-vektori toimii myös silloin, kun # A = 0 #). Saamme kohtisuoran suunta-vektorin vaihtamalla koordinaatit ja hylkäämällä yhden tässä # (B, -a). # Nollapiste-tuote vahvistaa kohtisuoraan:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

OP-Q: n korkeuden parametrinen yhtälö on siis:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # oikeasti # T #

Korkeus OQ: sta P: hen on samoin

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # oikeasti # U #

PQ: n suunta-vektori on # Q-P = (c-a, d-b) #. Näin ollen kohtisuorassa alkuperän, ts. PQ: n korkeuden, suhteen

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # oikeasti # V #

Katsotaanpa OP- ja PQ-korkeuksien täyttymistä:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Se on kaksi yhtälöä kahdessa tuntemattomassa, # T # ja # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Kerrotaan ensin # A # ja toinen mennessä # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

lisääminen, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Jäähdytetään laskurissa olevalla pistetuotteella ja nimittäjän ristituotteella.

Tapaaminen on oletettu ortokeskus # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Etsi seuraavaksi OQ: n ja PQ: n korkeuserot. Symmetrialla voimme vain vaihtaa # A # kanssa # C # ja # B # kanssa # D #. Soitamme tuloksen # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Meillä on nämä kaksi risteystä ovat samat, # (x ', y') = (x, y), # joten olemme osoittaneet, että korkeudet ovat samanaikaisia. #quad sqrt #

Olemme oikeuttaneet yhteisen risteyksen nimeämisen orthocenter, ja olemme löytäneet sen koordinaatit.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #