Pyydän, joku auttaa ratkaisemaan ongelman?

Vastaus:

Kokeile muutosta # x = tan u #

Katso alempaa

Selitys:

Tiedämme sen # 1 + tan ^ 2 u = sek ^ 2u #

Ehdotetulla muutoksella on

# dx = sek ^ 2u du #. Voit korvata integraalissa

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sek ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

Näin muutoksen peruuttaminen:

# U = arctanx # ja lopulta meillä on

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Vastaus:

#COLOR (sininen) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Selitys:

Yritetään käyttää Trigonometrinen korvaaminen tämän integraalin ratkaisemiseksi. Tätä varten rakennamme oikean kulman kolmion #Delta ABC # ja merkitse sivut siten, että Pythagoras-kaavan avulla voimme johtaa ilmaisuja, joita tällä hetkellä näemme integraalin argumentissa seuraavasti:

Kulma # / _ B = theta # on vastakkaisella puolella # X # ja viereinen puoli #1#. Pythagoras-kaavan käyttäminen:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # johtaa:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # kuten on esitetty.

Kirjoita nyt kolme perusasetuksen trigonometrista toimintoa # Theta #:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = x #

Nyt meidän on käytettävä näitä yhtälöitä ratkaistaksesi erilaisten argumenttien kappaleet trigonometrisissä termeissä. Käytetään # Tantheta #:

# Tantheta = x #

Otetaan molempien osapuolten johdannaiset:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Valitse # Costheta # Yhtälö, voimme ratkaista #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Jos nostamme tämän yhtälön molemmat puolet #3# saamme:

# S ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Nyt voimme korvata sen, mitä olemme laskeneet ongelman integraaliksi sen muuttamiseksi trigonometriseksi integraaliksi:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sek ^ 2theteta) / sek ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (punainen) (sek ^ 2theta) / (sekthetakanselliväri (punainen) (sek ^ 2 -eta)) d-theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Nyt voimme korvata takaisin # Sintheta # ja kääntää vastauksemme takaisin algebralliseksi ilmaisuksi # X #:

#COLOR (sininen) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #