Selitä, tämä on lineaarinen muutos vai ei?

Vastaus:

Katso alempaa

Selitys:

Trasformaatio #T: V t sanotaan olevan lineaarinen, jos sillä on seuraavat kaksi ominaisuutta:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # jokaiselle # v_1, v_2 t
• #T (cv) = cT (v) # jokaiselle #v V: ssä ja jokainen skalaari # C #

Huomaa, että toinen ominaisuus olettaa, että # V # on upotettu kahteen summaan ja skalaarikertoimeen. Meidän tapauksessamme summa on polynomien välinen summa, ja kertolasku on kertominen reaaliluvuilla (oletan).

Kun tulet polynomin alentamaan sen astetta #1#, joten jos tulet polynomin asteesta #4# kahdesti, saat polynomin tutkinnon #2#. Huomaa, että kun puhumme kaikkien neljän asteen polyinomien joukosta, tarkoitamme tosiasiallisesti kaikkien tutkittavien polynomien joukkoa enintään neljä. Itse asiassa yleinen aste neljä polynomia on

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Jos haluat asteen kaksi polynomia # 3 + 6x-5x ^ 2 #esimerkiksi valitset yksinkertaisesti

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Kun sanotaan, tunnistetaan tutkinnon polynomi-tila # N # kanssa # P_n #ja määrittele operaattori #T: P_4 t niin että #T (f (x)) = f '' (x) #

Katsotaanpa ensimmäinen ominaisuus: oletetaan, että meillä on polynomit

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

ja

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Se tarkoittaa, että # P_1 + p_2 # on yhtä suuri kuin

# (A_0 + b_0) + (A_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (P_1 + p_2) # on tämän polynomin toinen johdannainen, joten se on

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Käytin kaksinkertaista tehosääntöä derivaatioon: toinen johdannainen # X ^ n # on #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Nyt lasketaan #T (P_1) #, ts. toisen johdannaisen # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Samalla lailla, #T (p_2) #, ts. toisen johdannaisen # P_2 #, on

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Jos summaat nämä lausekkeet, näet, että meillä on

#T (P_1 + p_2) = T (P_1) + T (p_2) #

Toinen ominaisuus esitetään samalla tavalla: annetaan polynomi

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Meillä on todellinen numero # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

sen toinen johdannainen on siis

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

joka taas on sama kuin tietojenkäsittely #T (p) #, ja sitten kerralla kaikki # C #, ts. #T (cp) = cT (p) #