Mikä on negatiivisen luvun logaritmi?

Negatiivisten lukujen logaritmeja ei ole määritelty reaaliluvuissa samalla tavalla kuin negatiivisten lukujen neliöjuuria ei ole määritelty todellisissa numeroissa. Jos odotetaan löytävän negatiivisen numeron lokin, "undefined" -vastaus riittää useimmissa tapauksissa.

Se on voidaan arvioida, mutta vastaus on monimutkainen. (lomakkeen numero #a + bi #, missä #i = sqrt (-1) #)

Jos olet perehtynyt monimutkaisiin numeroihin ja tuntea olosi mukavaksi heidän kanssaan, lue sitten.

Ensinnäkin aloitetaan yleinen tapaus:

#log_b (-x) =? #

Käytämme perusvaihtoehtoa ja muunnetaan luonnollisiin logaritmeihin helpottaaksemme asioita myöhemmin:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Ota huomioon, että #ln (-x) # on sama asia kuin #ln (-1 * x) #. Voimme hyödyntää logaritmien lisäominaisuutta ja erottaa tämän osan kahteen erilliseen lokiin:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Nyt ainoa ongelma on selvittää, mitä #ln (-1) # on. Se saattaa näyttää ehkä mahdottomalta arvioida ensin, mutta on melko kuuluisa yhtälö, jota kutsutaan Eulerin identiteetiksi, joka voi auttaa meitä.

Eulerin identiteettitila:

# e ^ (ipi) = -1 #

Tämä tulos syntyy sine- ja kosinivoimakokonaisuuksien laajennuksista. (En selitä sitä liian syvällisesti, mutta jos olet kiinnostunut, täällä on mukava sivu, joka selittää hieman enemmän)

Otetaanpa nyt yksinkertaisesti Eulerin identiteetin molempien puolien luonnollinen loki:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

yksinkertaistettu:

#ipi = ln (-1) #

Joten nyt tiedämme mitä #ln (-1) # on, voimme korvata takaisin yhtälömme:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Nyt sinulla on kaava negatiivisten lukujen lokien löytämiseksi. Joten, jos haluamme arvioida jotain # log_2 10 #, voimme yksinkertaisesti liittää muutamia arvoja:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #