Mikä on (x ^ 2 + x) ^ 2: n johdannainen?

Vastaus:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Selitys:

Voit erottaa tämän toiminnon käyttämällä summa ja tehon säännöt. Huomaa, että voit kirjoittaa tämän toiminnon uudelleen

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Nyt summa-sääntö kertoo, että muotoa käyttäville toiminnoille

#y = summa_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

löydät johdannaisen # Y # lisäämällä näiden yksittäisten toimintojen johdannaiset.

#color (sininen) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

Sinun tapauksessa sinulla on

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Jos haluat erottaa nämä jakeet, käytä tehosääntöä

#color (sininen) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Joten johdannaisesi tulee olemaan

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= väri (vihreä) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

Vaihtoehtoisesti, voit käyttää ketjun sääntöä erottelemaan # Y #.

#color (sininen) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

Sinun tapauksessa sinulla on #y = u ^ 2 # ja # u = x ^ 2 + x #, niin saat

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = väri (vihreä) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #