Miten määrittäisitte pisteiden D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15) läpi kulkevan ympyrän yhtälön?

Vastaus:

Korvaa jokainen piste ympyrän yhtälöön, kehittää 3 yhtälöä ja poista ne, joilla on vähintään 1 yhteinen koordinaatti (# X # tai # Y #).

Vastaus on:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Selitys:

Piirin yhtälö:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Missä #α# #β# ovat ympyrän keskipisteen koordinaatit.

Korvaava jokaiselle pisteelle:

Kohta D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Yhtälö 1)

Kohta E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Yhtälö 2)

Piste F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Yhtälö 3)

Peruuta yhtälöt #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Peruuta yhtälöt #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Nyt kun #α# ja #β# ovat tiedossa, korvaa ne missä tahansa kohdassa (käytämme pistettä #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Joten ympyrän yhtälö muuttuu:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Vastaus:

Piirin yhtälö on # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Selitys:

Ensin on löydettävä kahden rivin yhtälö, joista kukin on kohtisuorassa kyseisten pisteiden parin muodostamien segmenttien kanssa ja joka kulkee tämän pisteiden keskipisteen läpi.

Pisteistä D ja E (# X_D = x_E = -5 #) ovat linjassa, joka on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa (# X = 0 #) ja kohdat E ja F (# Y_E = y_F = 15 #) ovat linjalla, joka on yhdensuuntainen akselin X kanssa (# Y = 0 #) se on kätevää valita nämä paripisteet.

Linjan DE yhtälö, missä # X_D = x_E = -5 #

# X = -5 #

Yhtälö linjasta 1, joka on kohtisuorassa DE: iin ja kulkee keskipisteen läpi #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

rivi 1# -> y = 5 #

Linjan EF yhtälö, missä # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Kaavan 2 yhtälö, joka on kohtisuorassa EF: ään nähden ja joka kulkee keskipisteen läpi #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

rivi 2# -> X = 5 #

Yhdistetään rivien 1 ja 2 yhtälöt (# Y = 5 # ja # X = 5 #) löydämme ympyrän keskipisteen, kohta C

#C (5,5) #

Pisteen C etäisyys mihin tahansa annettuun pisteeseen on yhtä suuri kuin ympyrän säde

# R = D_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Piirin yhtälön kaavassa:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-Y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #