Miten löydät kolmannen asteen Taylor-polynomin f (x) = ln x: lle, keskitetty a = 2: een?

Vastaus:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Selitys:

Taylorin laajennuksen yleinen muoto, joka keskittyi # A # analyysitoiminnon # F # on #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Tässä #f ^ ((n)) # on n. johdannainen # F #.

Kolmannen asteen Taylor-polynomi on polynomi, joka koostuu neljästä ensimmäisestä (# N # vaihtelevat #0# että #3#) täyden Taylorin laajentumisen ehdot.

Siksi tämä polynomi on #f (a) + f '(a) (x-a) + (f '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' ''(a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, siksi #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Kolmas aste Taylorin polynomi on siis:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Nyt meillä on # A = 2 #, joten meillä on polynomi:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.