Miten löydät asteen yhtälön kärjen?

Vastaus:

Käytä kaavaa # -B / (2a) # x-koordinaatille ja kytke se sitten y: n löytämiseksi.

Selitys:

Kvadraattinen yhtälö on kirjoitettu # Ax ^ 2 + bx + c # standardimuodossaan. Ja huippu löytyy käyttämällä kaavaa # -B / (2a) #.

Oletetaan esimerkiksi, että ongelmamme on selvittää kvadratiivisen yhtälön huippu (x, y) # X ^ 2 + 2x-3 #.

1) Arvioi arvot a, b ja c. Tässä esimerkissä a = 1, b = 2 ja c = -3

2) Liitä arvot kaavaan # -B / (2a) #. Tässä esimerkissä saat #-2/(2*1)# joka voidaan yksinkertaistaa -1: ksi.

3) Löysit juuri vertexin x-koordinaatin! Kytke nyt -1 yhtälön x: hen saadaksesi y-koordinaatin.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Yllä olevan yhtälön yksinkertaistamisen jälkeen saat: 1-2-3, joka on -4.

6) Lopullinen vastaus on (-1, -4)!

Toivottavasti se auttoi.

Vastaus:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # on piste at # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Selitys:

Tarkastellaan yleistä neliöilmaisua:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

ja siihen liittyvä yhtälö #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Juuri, # Alpha # ja #beeta#.

Tiedämme (symmetriasta - katso jäljempänä todisteeksi), että huippu (joko suurin tai pienin) on kahden juuren keskipiste, # X #-pisteen koordinaatti on:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Muistakaa kuitenkin hyvin tutkitut ominaisuudet:

# {: ("juurien summa", = alpha + beeta, = -b / a) ("juurien tuote", = alfa beta, = c / a):} #

Täten:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Anna meille:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Täten:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # on piste at # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Todistus keskipisteestä:

Jos meillä on

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Sitten erotella wrt # X #:

# f '(x) = 2ax + b #

Kriittisessä kohdassa ensimmäinen johdannainen, #f '(x) # häviää, mikä edellyttää, että:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) t QED