Arvioi määrittelemätön integraali: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Vastaus:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Selitys:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Täytä neliö, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

korvike # U = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" # #

korvike # U = 5sin (v) # ja # Du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Yksinkertaistaa, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

tarkentaa, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Ota vakio, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Käytä kaksinkertaisen kulman kaavoja, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Ota vakio, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" #

integroida, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Korvaa takaisin # V = arcsin (u / 5) # ja # U = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + peruuttaa (1 / 2sin) (peruuta (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Yksinkertaistaa, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

tarkentaa, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, missä # C # on integraation vakio.

Tadaa: D

Vastaus:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Selitys:

Mikä on #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Huomaa, että integroitavan funktion domeeni on, jossa sisäinen neliö on positiivinen, ts. #x kohdassa 0, 10 #

Tämä lauseke voidaan integroida käyttämällä substituutioita. Vaikka mahdollinen integroitumisreitti ei heti esiinny, jos kilpailemme neliön kanssa, voidaan suorittaa trigonometrinen korvaus:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Mikä on huomautus, se on klassisessa trigonometrisessa substituutiomuodossa, eli numeron neliö, josta on vähennetty lineaarisen neliön neliö. # X # toimia.

Ensinnäkin päästään eroon lineaarisesta #u = x-5 #, joka antaa # Du = dx #, joten voimme kirjoittaa yllä olevan integraalin seuraavasti:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Siirry nyt toiselle korvaukselle #u = 5sintheta #, joka muuttaa integraalia:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5kosteta) dx # (voimme jättää huomiotta absoluuttiset arvot)

Tietenkin # Dx # ei auta, joten erottelemme korvaavan yhtälön saadaksesi: #du = 5costheta d theta #, joten integraali tulee:

# 25 int cos ^ 2 theta deta #

Nyt voimme käyttää kaksinkertaisen kulman kaavaa integroinnin tekemiseksi # cos ^ 2 theta # helpompaa:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Joten integraali tulee:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 detaatti #

# = 25/2 (1 / 2sin (2-teta) + teta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (käyttäen kaksikulmaista kaavaa)

Nyt, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Siten, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Ja, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #