Miten erotella y ys 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Vastaus:

Käytä tuotetta ja osamääriä sääntöjä ja tee paljon tylsiä algebraa # Dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Selitys:

Aloitamme vasemmalta puolelta:

# Y ^ 2 / x #

Jotta saataisiin tämän johdannainen, meidän on käytettävä osuussääntöä:

# D / dx (u / v) = (u'v-UV ') / v ^ 2 #

Meillä on # U = y ^ 2> u '= 2ydy / dx # ja # V = x-> v '= 1 #, niin:

# D / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Nyt oikealla puolella:

# X ^ 3-3yx ^ 2 #

Voimme käyttää summaussääntöä ja jatkuvan säännön kertomista rikkomalla tämän:

# D / dx (x ^ 3) -3D / dx (yx ^ 2) #

Toinen niistä edellyttää tuotesääntöä:

# D / dx (uv) = u'v + uv '#

Kanssa # U = Y-> u '= dy / dx # ja # V = x ^ 2-> v '= 2x #. Niin:

# D / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Meidän ongelmamme kuuluu nyt:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Voimme lisätä # X ^ 2dy / dx # molemmille puolille ja tekijä ulos a # Dy / dx # eristää se:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / DX (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Toivottavasti pidät algebraa, koska tämä on yksi ilkeä yhtälö, jota on yksinkertaistettava:

# Dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3 y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #

Miten erotella seuraava parametrinen yhtälö: x (t) = t / (t-4), y (t) = 1 / (1-t ^ 2)?

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((T-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt [1] -1d / dt [1-t ^ 2]) / (1-t ^ 2) ^ 2 väri (valkoinen) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 väri (valkoinen) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ((t -4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) (t-4) ^ -väri (valkoinen) (x '(t)) = (t-4-t) / (- 4) ^ 2 väri (valkoinen) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 -: - 4 / (t -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4

Miten erotella f (x) = sqrt (cote ^ (4x) ketjun sääntöä käyttäen.?

F '(x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (pinnasänky (e ^ (4x))) ^ (- 1/2)) / 2 väriä (valkoinen) (f' (x)) = - (2e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x))) / sqrt (pinnasänky (e ^ (4x)) f (x) = sqrt (pinnasänky (e ^ (4x))) väri (valkoinen) (f (x)) = sqrt (g (x)) f '(x) = 1/2 * (g (x)) ^ (- 1/2) * g' (x) väri (valkoinen ) (f '(x)) = (g' (x) (g (x)) ^ (- 1/2)) / 2 g (x) = pinnasänky (e ^ (4x)) väri (valkoinen) (g (x)) = pinnasänky (h (x)) g '(x) = - h' (x) csc ^ 2 (h (x)) h (x) = e ^ (4x) väri (valkoinen) (h ( x)) = e ^ (j (x)) h '(x) = j' (x) e

Miten erotella sqrt ((x + 1) / (2x-1))?

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) Tässä tapauksessa: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2)