Miten arvioisit integraali int sinhx / (1 + coshx)?

Vastaus:

#int sin (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C #

Selitys:

Aloitamme ottamalla käyttöön u-korvauksen # U = 1 + cosh (x) #. Johdannainen # U # on sitten #sinh (x) #, joten jaamme ne #sinh (x) # integroida suhteessa # U #:

#int sin (x) / (1 + cosh (x)) dx = int peruutus (sinh (x)) / (peruuta (sinh (x)) * u) du = int 1 / u #

Tämä integraali on yhteinen integraali:

#int 1 / t dt = ln | t | + C #

Tämä tekee integraalistamme:

#ln | u | + C #

Voimme korvata:

#ln (1 + cosh (x)) + C #, joka on lopullinen vastaus.

Poistamme absoluuttisen arvon logaritmista, koska huomaamme sen # Cosh # on positiivinen toimialueellaan, joten se ei ole välttämätöntä.

Miten näytät (coshx + sinhx) ^ n = cosh (nx) + sinh (nx) mistä tahansa reaaliluvusta n?

Katso alla Käytä määritelmää cosh x = (e ^ x + e ^ -x) / 2 ja sinh x = (e ^ xe ^ -x) / 2 Vasen puoli: [(e ^ x + e ^ -x) / 2 + (e ^ xe ^ -x) / 2] ^ n = [(e ^ x + e ^ -x + e ^ xe-x) / 2] ^ n = [(2e ^ x) / 2] ^ n = e ^ (xn) Oikea puoli: = (e ^ (nx) + e ^ (- nx)) / 2 + (e ^ (nx) -e ^ (- nx)) / 2 = (e ^ (nx) + e ^ (- nx) + e ^ (nx) -e ^ (- nx)) / 2 = (2e ^ (nx)) / 2 = e ^ (nx) = Vasen puoli:. LHS = RHS

Miten arvioisit tiettyä integroitua int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx alkaen [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0,7606505661495 annetusta int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Aloitamme yksinkertaistamalla ensin integroinnin int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + ln x ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4

Miten arvioisit kiinteän integraalin int (2t-1) ^ 2 arvosta [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Olkoon u = 2t-1 du = 2dt, joten dt = (du) / 2 Rajojen muuntaminen: t: 0rarr1 merkitsee u: -1rarr1 Integroitu muuttuu: 1 / 2int_ -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3