Mikä on johdannainen f (x) = cos ^ -1 (x ^ 3)?

Sivuhuomautus aloittaa: merkintä # Cos ^ -1 # käänteisen kosinifunktion (tarkemmin sanottuna kosinin rajoituksen käänteisfunktio) suhteen # 0, pi #) on yleinen mutta harhaanjohtava. Itse asiassa standardi, joka koskee eksponentteja, kun käytetään trig-toimintoja (esim. # cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 # ehdottaa tätä #cos ^ (- 1) x # on # (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x) #. Se ei tietenkään ole, mutta merkintä on hyvin harhaanjohtava. Vaihtoehtoinen (ja yleisesti käytetty) merkintä #arccos x # on paljon parempi.

Nyt johdannainen. Tämä on komposiitti, joten käytämme ketjun sääntöä. Tarvitsemme # (X ^ 3) '= 3x ^ 2 # ja # (arccos x) '= - 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (katso käänteisten liipaisutoimintojen laskenta).

Ketjun säännön käyttäminen:

# (arccos (x ^ 3)) '= - 1 / sqrt (1- (x ^ 3) ^ 2) (x ^ 3)' = - (3x ^ 2) / sqrt (1-x ^ 6) #.

James osallistuu 5 kilometrin kävelymatkaan keräämään rahaa hyväntekeväisyyteen. Hän on saanut 200 dollaria kiinteissä panteissa ja nostaa 20 dollaria ylimääräistä palkkaa jokaista kävijämäärää kohti. Miten käytät piste-kaltevuusyhtälöä löytääksesi määrän, jonka hän nostaa, jos hän lähtee kävelemään.

Viiden mailin jälkeen Jamesillä on 300 dollaria. Piste-kaltevuusyhtälön muoto on: y-y_1 = m (x-x_1), jossa m on kaltevuus, ja (x_1, y_1) on tunnettu piste. Tapauksessamme x_1 on lähtöasento, 0 ja y_1 on rahan lähtömäärä, joka on 200. Nyt yhtälömme on y-200 = m (x-0) Meidän ongelmamme on pyytää rahamäärää James on, mikä vastaa y-arvoa, mikä tarkoittaa, että meidän on löydettävä arvo m: lle ja x: lle. x on lopullinen kohde, joka on 5 kilometriä ja m kertoo meille. Ongelma kertoo meille,

Oletetaan, että työn suorittamiseen kuluva aika on kääntäen verrannollinen työntekijöiden määrään. Toisin sanoen, mitä enemmän työntekijöitä työelämässä on, sitä vähemmän aikaa tarvitaan työn suorittamiseen. Onko aikaa 2 työntekijää 8 päivää aikaa tehdä työtä, kuinka kauan se kestää 8 työntekijää?

8 työntekijää viimeistelee työn 2 päivän kuluessa. Anna työntekijöiden lukumäärä w ja työpäivän päättymispäivämäärä d. Sitten w prop 1 / d tai w = k * 1 / d tai w * d = k; w = 2, d = 8:. k = 2 * 8 = 16: .w * d = 16. [k on vakio]. Näin ollen työn yhtälö on w * d = 16; w = 8, d =? :. d = 16 / w = 16/8 = 2 päivää. 8 työntekijää viimeistelee työn 2 päivän kuluessa. [Ans]

Tutkimuksessa, jossa oli 1118 henkilöä, 732 ihmistä ilmoitti äänestäneensä äskettäisissä presidentinvaaleissa. Kun otetaan huomioon, että 63 prosenttia äänioikeutetuista äänestäjistä tosiasiallisesti äänesti, mikä on todennäköisyys, että 1118 satunnaisesti valittua äänestäjää ainakin 732 äänesti?