Mikä on f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx jos f (pi / 6) = 1?

Vastaus:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 s ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Selitys:

Aloitamme jakamalla integraalin kolmeen:

#int e ^ xcos (x) dx-int ^ 3 (x) dx + int sin (x) xx = #

# = int ^ xcos (x) dx-int ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Soitan vasemman integraali 1: n ja oikean Integral 2: n

Integral 1

Täällä tarvitaan integrointia osittain ja vähän temppua. Kaavake osien integroimiseksi on:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) x # #

Tässä tapauksessa annan sen #F (x) = e ^ x # ja #G '(x) = cos (x) #. Me saamme sen

#f '(x) = e ^ x # ja #G (x) = sin (x) #.

Tämä tekee integraalistamme:

#int e ^ xcos (x) x = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) x # #

Nyt voimme soveltaa integrointia osittain uudelleen, mutta tällä kertaa #G '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) x) x)

#int e ^ xcos (x) x = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) x # #

Nyt voimme lisätä olennaisen molemmille puolille:

# 2int e ^ xcos (x) x = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Voimme ensin käyttää identiteettiä:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Tämä antaa:

#int ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x x # #

Nyt voimme käyttää pythagorilaista identiteettiä:

# Sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) x #

Nyt voimme ottaa käyttöön u-korvauksen # U = cos (x) #. Jaamme sen jälkeen johdannainen, # Sin (x) # integroida suhteessa # U #:

# -int (peruuta (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (peruuta (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Alkuperäisen integraalin viimeistely

Nyt kun tiedämme Integral 1: n ja Integral 2: n, voimme liittää ne takaisin alkuperäiseen integraaliin ja yksinkertaistaa saada lopullisen vastauksen:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 s ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Nyt kun tiedämme antivivaattorin, voimme ratkaista vakiona:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pii / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2 s ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Tämä antaa meille tehtävän:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 s ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #