Miten arvioit int (dt) / (t-4) ^ 2: n integraalia 1: stä 5: een?

Vastaus:

korvike # X = t-4 #

Vastaus on, jos sinua pyydetään todellakin löytämään vain integraali:

#-4/3#

Jos etsit aluetta, se ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista.

Selitys:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

Sarja:

# T-4 = x #

Siksi ero:

# (D (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

Ja rajat:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Korvaa nyt nämä kolme arvoa:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

# int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

# int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

HUOMAUTUS: ÄLÄ LUE TÄMÄN SYÖTÄ, ETTÄ OLE SÄILYTETTY ALUEEN. Vaikka tämän pitäisi itse asiassa edustaa kahden raja-arvon välistä aluetta, ja koska se on aina positiivinen, sen olisi pitänyt olla positiivinen. Tämä toiminto on kuitenkin ei ole jatkuvaa at # X = 4 # joten tämä integraali ei edustaa aluetta, jos sitä halusit. Se on hieman monimutkaisempi.

Vastaus:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Selitys:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Vastaus:

Riippuen siitä, kuinka paljon integraatiota olet oppinut, "paras" vastaus on joko: "integraalia ei ole määritelty" (vielä) tai "integraalierot"

Selitys:

Kun yritämme arvioida # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, meidän pitäisi tarkistaa, että integraali määritellään sen ajanjakson aikana, jonka sisällä olemme integroitumassa.

# 1 / (x-4) ^ 2 # ei ole määritelty #4#, niin se on ei määritetään koko ajan #1,5#.

Varhain laskelman tutkimuksessa, määrittelemme integraalin aloittamalla

"Päästää # F # määritellä aikavälillä # A, b #… '

Niin varhain tutkimuksessamme, paras vastaus on

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# ei ole määritelty (vielä?)

Myöhemmin laajennamme määritelmää mitä kutsutaan "vääriksi integraaleiksi"

Näihin kuuluvat integraalit rajoittamattomilla aikaväleillä (# (- oo, b #, # A, oo) # ja # (- oo, oo) #) ja myös välit, joilla integraalilla on pisteitä, joissa sitä ei ole määritelty.

Voit yrittää arvioida # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, arvioimme kaksi väärää integraalia # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Huomaa, että integraalia ei ole vielä määritetty näille suljettu välein.)

Menetelmä on korvata piste, jossa muuttuja määrittää integraalin, ja ottaa sitten raja, kun tämä muuttuja lähestyy numeroa.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Etsi ensin integraali:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Etsitkö rajaa # Brarr4 ^ - #, näemme, että rajaa ei ole olemassa. (Kuten # Brarr4 ^ - #, arvo # -1 / (b-4) # kasvaa ilman sidottua.)

Siksi olennainen #1,4# ei ole olemassa niin integraali #1,5# ei ole olemassa.

Sanomme, että integraali erottuu.

Huomautus

Jotkut sanoisivat: meillä on nyt a määritelmä integraalia, ei vain ole mitään numeroa, joka täyttää määritelmän.