Ratkaise q 11?

Vastaus:

Etsi minimiarvo # 4 cos theta + 3 synnin theta. #

Lineaarinen yhdistelmä on vaihesiirtoinen ja skaalattu siniaalto, jonka aste määritetään polaarisessa muodossa olevien kertoimien suuruuden mukaan, # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # niin vähintään #-5#.

Selitys:

Etsi minimiarvo # 4 cos theta + 3 synti theta #

Saman kulman sinisen ja kosinin lineaarinen yhdistelmä on vaihesiirto ja skaalaus. Tunnistamme Pythagorean Triple #3^2+4^2=5^2.#

Päästää # Phi # olla sellainen kulma, että #cos phi = 4/5 # ja #sin phi = 3/5 #. Kulma # Phi # on pääarvo #arctan (3/4) # mutta se ei ole meille merkitystä. Meille on tärkeää, että voimme kirjoittaa vakiot: # 4 = 5 cos phi # ja # 3 = 5 sin phi #. Niin

# 4 cos theta + 3 synti theta #

# = 5 (cos phi cos theta + sin phi sin theta) #

# = 5 cos (theta - phi) #

niin on vähintään #-5#.

Vastaus:

#-5# on vaadittu vähimmäisarvo.

Selitys:

Jaa yhtälö # 3sinx + 4cosx # mennessä #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # vähentää sitä lomakkeeseen #sin (x + -alpha) tai cos (x + -alpha) # missä # A # ja # B #

ovat kertoimet # Sinx # ja # Cosx # vastaavasti.

# Rarr3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

Päästää # Cosalpha = 3/5 # sitten # Sinalpha = 4/5 #

Nyt, # 3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + alfa) = 5sin (x + alfa) #

Arvo # 5sin (x + alfa) # tulee olemaan vähintään, kun #sin (x + alfa #) on vähimmäisarvo ja vähimmäisarvo #sin (x + alfa) # on #-1#.

Joten vähimmäisarvo # 5sin (x + alfa) = - 5 #