Miten löydät sin (x / 2), cos (x / 2) ja tan (x / 2) annetusta Cotista (x) = 13?

Vastaus:

On todella neljä arvoa # X / 2 # yksikön ympyrässä, joten neljä arvoa kutakin laukaisutoimintoa kohti. Puolen kulman pääarvo on noin # 2.2 ^ circ. #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2teksti {Arc} -teksti {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Katso muiden selitys.

Selitys:

Puhutaan ensin vastauksesta. Yksikköympyrässä on kaksi kulmaa, jonka kotangentti on #13#. Yksi on noin # 4.4 ^ circ #, ja toinen on se plus # 180 ^ circ #, kutsu sitä # 184,4 ^ circ #. Jokaisella näistä on kaksi puoli- kulmaa, jotka ovat jälleen erillään # 180 ^ circ. # Ensimmäisessä on puolikulmat # 2.2 ^ circ # ja # 182,2 ^ circ #, toisessa on puolikulmat # 92.2 ^ circ # ja # 272,2 ^ circ #, Joten kyseessä on todella neljä puolikulmaa, joissa on erilaiset mutta niihin liittyvät arvot niiden trigeritoiminnoille.

Käytämme edellä mainittuja kulmia likiarvoina, joten meillä on nimiä.

Kulmat, joissa on 13: t

#text {Arc} teksti {cot} 13 noin 4,4 ^ circ #

# 180 ^ circ + teksti {Arc} teksti {cot} 13 noin 184.4 ^ circ #

Puolen kulmat:

# 1/2 teksti {Arc} teksti {cot} 13 noin 2,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + teksti {Arc} teksti {cot} 13) n. 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + teksti {Arc} teksti {cot} 13) n. 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + teksti {Arc} teksti {cot} 13) n. 272,2 ^ circ #

OK, kaksinkertaisen kulman kaavat kosinille ovat:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

joten asian kannalta merkitykselliset puolen kulman kaavat ovat

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Tämä on kaikki alustava. Tehdään ongelma.

Teemme pienen kulman ensin, # 2.2 ^ circ. # Näemme loput niistä vain kerrannaisina # 90 ^ circ # sen yläpuolella, jotta voimme saada heidän triger-toiminnonsa tästä ensimmäisestä kulmasta.

13: n kotangentti on #1/13# niin vastaa oikeaa kolmiota vastakkaisella #1#, vieressä #13# ja hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}.

#cos (teksti {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (teksti {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Nyt sovellamme puolikulma-kaavoja. Valitsemme positiiviset merkit ensimmäiselle neljännekselle.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = qrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Voisimme yrittää yksinkertaistaa ja siirtää fraktioita radikaalin ulkopuolelle, mutta aion vain jättää sen täällä.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = qrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Tangentin puoli-kulma on niiden osamäärä, mutta sitä on helpompi käyttää

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2teksti {Arc} teksti {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, se on kaikki kova osa, mutta älkäämme unohtako muita kulmia.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Nyt meillä on jäljellä olevat kulmat, jotka vaihtavat sinia ja kosinia, käänteisiä merkkejä. Emme toista lomakkeita paitsi tangenttia.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92,2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Huh huh.

Vastaus:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #

Selitys:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + pinnasänky ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + pinnasänky ^ 2 (x / 2) #

Mutta tiedä #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Kun #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Kun #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0,9993 / -26,0384 = + -0,0384 #