Mitkä ovat r: n arvot (r> 0), joiden sarja konvergoituu?

Vastaus:

#R <1 / E # on edellytys lähentymiselle #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Selitys:

Vastaan vain osaan lähentymisestä, ja ensimmäiseen osaan on vastattu kommenteissa. Voimme käyttää # R ^ ln (n) = n ^ ln (r) # kirjoittaa summa uudelleen #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # Muodossa

#sum_ (n = 1) ^ o ^ ^ ln (r) = summa_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Oikealla oleva sarja on kuuluisa Riemann Zeta -toiminnon sarja. On hyvin tunnettua, että tämä sarja konvergoituu milloin #p> 1 #. Tämän tuloksen käyttö antaa suoraan

# -ln (r)> 1 tarkoittaa, että ln (r) <- 1 merkitsee r <e ^ -1 = 1 / e #

Tulos Riemann Zeta -toiminnoista on hyvin tunnettu, jos haluat AB initio vastaus, voit kokeilla integroitua testiä lähentymiselle.

James osallistuu 5 kilometrin kävelymatkaan keräämään rahaa hyväntekeväisyyteen. Hän on saanut 200 dollaria kiinteissä panteissa ja nostaa 20 dollaria ylimääräistä palkkaa jokaista kävijämäärää kohti. Miten käytät piste-kaltevuusyhtälöä löytääksesi määrän, jonka hän nostaa, jos hän lähtee kävelemään.

Viiden mailin jälkeen Jamesillä on 300 dollaria. Piste-kaltevuusyhtälön muoto on: y-y_1 = m (x-x_1), jossa m on kaltevuus, ja (x_1, y_1) on tunnettu piste. Tapauksessamme x_1 on lähtöasento, 0 ja y_1 on rahan lähtömäärä, joka on 200. Nyt yhtälömme on y-200 = m (x-0) Meidän ongelmamme on pyytää rahamäärää James on, mikä vastaa y-arvoa, mikä tarkoittaa, että meidän on löydettävä arvo m: lle ja x: lle. x on lopullinen kohde, joka on 5 kilometriä ja m kertoo meille. Ongelma kertoo meille,

Miten todistat, että sekvenssi {2 ^ -n} konvergoituu n = 1: stä äärettömään käyttämällä lähentymisen määritelmää?

Käytä eksponentiaalitoiminnon ominaisuuksia N: n määrittämiseen, kuten | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon jokaiselle m, n> N: lle Konvergenssin määritelmä osoittaa, että {a_n} konvergoituu, jos: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Joten, kun epsilon> 0 ottaa N> log_2 (1 / epsilon) ja m, n> N m: llä m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 niin | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nyt kun 2 ^ x on aina positiivinen, (1- 2 ^ (mn)) <1, joten

Mitkä ovat k: n kiinteät arvot, joiden yhtälöllä (k-2) x ^ 2 + 8x + (k + 4) = 0) on molemmat juuret todellisia, erillisiä ja negatiivisia?

-6 <k <4 Jotta juuret olisivat todellisia, erillisiä ja mahdollisesti negatiivisia, Delta> 0 delta = b ^ 2-4ac-delta = 8 ^ 2-4 (k-2) (k + 4) delta = 64-4 ( k ^ 2 + 2k-8) Delta = 64-4k ^ 2-8k + 32 delta = 96-4k ^ 2-8k Koska Delta> 0, 96-4k ^ 2-8k> 0 4k ^ 2 + 8k-96 < 0 (4k + 24) (k-4) <0 4 (k + 6) (k-4) <0-käyrä {y = 4 (x + 6) (x-4) [-10, 10, -5, 5]} Yllä olevasta kaaviosta voidaan nähdä, että yhtälö on totta vain silloin, kun -6 <k <4 Niinpä vain -6 <k <4 väliset kokonaisluvut voivat olla juuret negatiivisia, erillisiä ja todelli