Mikä on x ^ n: n johdannainen?

Toimintoa varten #f (x) = x ^ n #, n pitäisi ei on 0, syistä, jotka tulevat selviksi. n: n tulisi myös olla kokonaisluku tai rationaalinen luku (eli murto).

Sääntö on:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Toisin sanoen, me "lainaamme" x: n voiman ja tehdä siitä johdannaisen kertoimen ja vähennetään sitten 1 tehosta.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Kuten mainitsin, erityistapaus on jossa n = 0. Se tarkoittaa, että

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Voimme käyttää sääntöämme ja teknisesti saat oikean vastauksen:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Myöhemmin, jäljessä radalla, törmme komplikaatioihin, kun yritämme käyttää tämän säännön käänteistä.

Vastaus:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Alla on todisteet jokaisesta numerosta, mutta vain kaikkien kokonaislukujen todistus käyttää johdannaisten määritelmän perusosaamista. Todiste kaikista rationaaleista käyttää ketjun sääntöä ja irrationaalisille käyttää implisiittistä erottelua.

Selitys:

Näin ollen esitän heille kaikki täällä, joten voit ymmärtää prosessin. Varo, että se on #tahtoa# olla melko pitkä.

alkaen #y = x ^ (n) #, jos #n = 0 # meillä on #y = 1 # ja vakion johdannainen on alsways nolla.

Jos # N # on mikä tahansa muu positiivinen kokonaisluku, jonka voimme heittää sen johdannaiskaavaan ja käyttää binomiteoriaa ratkaisemaan sotku.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n / h #

Missä # K_i # on sopiva vakio

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i / h #

Jaetaan se # H #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Voimme ottaa ensimmäisen kauden summan

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Rajoittamalla kaikki muu summa, joka on vielä summa, menee nollaan. laskettaessa # K_1 # näemme, että se on yhtä suuri # N #, niin

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

varten # N # jotka ovat negatiivisia kokonaislukuja, se on hieman monimutkaisempi. Sen tietäen # x ^ -n = 1 / x ^ b #, niin että #b = -n # ja on siksi positiivinen.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) ((x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Ota ensimmäinen termi

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Ota raja, missä # K_1 = b #, tuoden sen takaisin # N #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Rationaalisten syiden vuoksi meidän on käytettävä ketjun sääntöä. ts.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Joten tietäen sen # x ^ (1 / n) = juuri (n) (x) # ja olettaen #n = 1 / b # meillä on

# (x ^ n) ^ b = x #

Jos # B # on tasainen, vastaus on teknisesti # | X | # mutta tämä on tarpeeksi lähellä tarkoituksiamme

Joten, käyttämällä ketjun sääntöä meillä on

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Ja viimeisenä mutta ei vähäisimpänä, implisiittisen erottelun avulla voimme todistaa kaikkien todellisten lukujen, myös irrationaalisten, osalta.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #