Miten löydät alueet, joita rajoittavat käyrät y = -4sin (x) ja y = sin (2x) suljetun aikavälin välillä välillä 0 - pi?

Vastaus:

Arvioida

# Int_0 ^ π | -4sin (x) sin (2x) | dx #

Alue on: #8#

Selitys:

Kahden jatkuvan toiminnon välinen alue #F (x) # ja #G (x) # yli #x kohdassa a, b # on:

# Int_a ^ b | f (x) -G (x) | dx #

Siksi meidän on löydettävä, milloin #f (x)> g (x) #

Anna käyrät olla toimintoja:

#F (x) = - 4sin (x) #

#G (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Sen tietäen #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Jaettuna #2# joka on positiivinen:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Jaettuna # Sinx # ilman merkin kääntämistä #sinx> 0 # jokaiselle #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Mikä on mahdotonta, koska:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Joten alkuperäinen lausunto ei voi olla totta. Siksi, #f (x) <= g (x) # jokaiselle #x kohdassa 0, π #

Integraali lasketaan:

# Int_a ^ b | f (x) -G (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#