Mikä on f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) verkkotunnus ja alue?

Vastaus:

Verkkotunnus on # RR # (kaikki todelliset numerot) ja alue on # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(kaikki todelliset luvut välillä ja mukaan lukien # (5-sqrt (61)) / 72 # ja # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Selitys:

Aloitetaan alussa kaikilla todellisilla numeroilla ja poistetaan sitten mikä tahansa, joka pakottaisi meidät olemaan negatiivisen luvun neliöjuuri tai #0# murto-osan nimittäjänä.

Lyhyesti, me tiedämme sen # x ^ 2> = 0 # kaikkien todellisten numeroiden osalta # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Niinpä nimittäjä ei ole #0# mikä tahansa reaaliluku # X #, eli verkkotunnus sisältää jokaisen todellisen numeron.

Alueelle helpoin tapa löytää edellä mainitut arvot sisältävät jonkin verran peruslaskua. Vaikka se on pidempi, on myös mahdollista löytää ne käyttämällä vain algebraa alla esitetyn menetelmän avulla.

Aloitetaan toiminnosta #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # haluamme löytää kaikki mahdolliset arvot #F (x) #. Tämä vastaa käänteisen funktion verkkotunnuksen löytämistä # F ^ -1 (x) # (toiminto ominaisuuden kanssa # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Valitettavasti käänteinen #F (x) # tässä tapauksessa se ei ole toiminto, koska se palauttaa 2 arvoa, mutta idea on kuitenkin sama. Aloitamme yhtälöstä #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # ja ratkaise # X # löytää käänteinen. Seuraavaksi tarkastelemme mahdollisia arvoja # Y # löytää käänteisen verkkotunnuksen ja siten alkuperäisen toiminnon alueen.

Ratkaisu # X #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

hoitoon # Y # vakiona käytämme neliökaavaa

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

saada haltuunsa

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Meidän on nyt löydettävä edellä mainitun lausekkeen verkkotunnus (huomaa, että se ei ole toiminnon takia #+-#). Huomaa, että jakamalla # Y # neljännessä kaavassa menetimme mahdollisuuden # Y = 0 #, joka on selvästi mahdollista alkuperäisessä yhtälössä #x = -5 #). Niinpä jätämme huomiotta # Y # käänteisen nimittäjän kohdalla ja keskittyä vain neliöjuuriin.

Kuten aiemmin mainittiin, emme salli neliöjuurta, jonka arvo on alle 0, ja siksi meillä on rajoitus

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Käyttämällä neliön kaavaa # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # jonkin verran yksinkertaistamisen jälkeen

#y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Lopuksi voimme kertoa sen # | Y | # kasvaa suureksi, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # on pienempi kuin #0#. Siksi harkitsemme vain välin välistä aikaa

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # ja #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Joten sallitut arvot # Y #, ja näin ollen alueelle #F (x) #, on

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #