Mikä on y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1) alue?

Tarkastellaan ensin verkkotunnusta:

Mitä arvoja on # X # on määritelty toiminto?

Laskin # (1-x) ^ (1/2) # määritellään vain, kun # (1-x)> = 0 #. lisääminen # X # sen molemmille puolille #x <= 1 #.

Vaadimme myös nimittäjän olevan nolla.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # on nolla, kun #x = -1 / 2 # ja milloin #x = -1 #.

Joten funktion toimialue on

# {x RR: ssä: x <= 1 ja x! = -1 ja x! = -1/2} #

Määritellä #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # tällä alalla.

Tarkastellaan kunkin verkkotunnuksen jatkuvaa aikaväliä erikseen:

Anna kussakin tapauksessa #epsilon> 0 # olla pieni positiivinen luku.

Tapaus (a): #x <-1 #

Suuria negatiivisia arvoja # X #, #F (x) # on pieni ja positiivinen.

Tämän aikavälin toisessa päässä, jos #x = -1 - epsilon # sitten

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1))

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # kuten #epsilon -> 0 #

Joten #x <-1 # valikoima #F (x) # on # (0, + oo) #

Tapaus (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # kuten #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Joten # -1 / 2 <x <= 1 # valikoima #F (x) # on # 0, + oo #

Tapaus (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1))

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # kuten #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # kuten #epsilon -> 0 #

Mielenkiintoinen kysymys on siis se, mikä on suurin arvo #F (x) # tässä jaksossa. Voit löytää arvon # X # josta tämä tapahtuu, etsi johdannainen nollaan.

# D / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Tämä on nolla, kun lukija on nolla, joten haluaisimme ratkaista:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Kerro läpi # 2 (1-x) ^ (1/2) # saada:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Tuo on:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

jossa on juuret # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Näistä juurista #x = (5-sqrt (194)) / 12 # putoaa kyseiseen aikaväliin.

Korvaa tämä takaisin #F (x) # löytää tällä välillä (noin -10) enintään #f (x).

Tämä näyttää minulle monimutkaiselta. Olenko tehnyt virheitä?

Vastaus: Toiminnon alue on # (- oo, -10.58) uu 0, oo) #

varten #x kohdassa (-oo, -1) # #-># #y (0, oo) #

varten #x in (-1, -0,5) # #-># #y (-oo, -10.58) #

varten #x in (-0,5, 1) # #-># #y kohdassa 0, oo #