Miten int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx integroidaan käyttämällä trigonometristä korvausta?

Vastaus:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2 x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Selitys:

Ratkaisu on hieman pitkä!

Annetusta #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Huomaa, että # I = sqrt (-1) # kuvitteellinen numero

Aseta tämä monimutkainen numero hetkeksi ja siirry integraaliin

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

täyttämällä aukion ja tekemällä jonkin ryhmän:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Ensimmäinen trigonometrinen korvaus: ##

Akuutti kulma # W # vastakkaisella puolella # = E ^ x + 10 # ja viereinen puoli #=1# hypotenusella =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Päästää # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sek ^ 2 w # # dw #

# dx = (sek ^ 2w * dw) / e ^ x #

ja sitten

# dx = (sek ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integroista tulee

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sek ^ 2w) * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / s w * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

trigonometriasta #sec w = 1 / cos w # ja #tan w = sin w / cos w #

Integroista tulee

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # ja

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Toinen trigonometrinen korvaus:

Päästää # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

ja myös # z = tan (w / 2) #

Oikea kolmio: akuutti kulma # W / 2 # vastakkaisella puolella # = z #

Viereinen puoli #=1# ja hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Trigonometriasta: puoli-kulma-kaavojen palauttaminen

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

ratkaisu #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Myös identiteetin käyttäminen #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

seuraa, että

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integraali tulee

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Yksinkertaisten tulosten yksinkertaistaminen

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Täyttämällä neliö:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Käytä nyt kaavaa #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Päästää # U = Z + 1/10 # ja # A = sqrt101 / 10 # mukaan lukien # I = sqrt (-1) #

Kirjoita lopullinen vastaus käyttäen alkuperäisiä muuttujia

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2 x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #