Miten integroit e ^ x * cos (x): n?

Vastaus:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Selitys:

Integrointi on tehtävä osittain kahdesti.

varten #u (x) ja v (x) #, IBP on

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

Päästää #u (x) = cos (x) tarkoittaa u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x tarkoittaa v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + väri (punainen) (inte ^ xsin (x) dx) #

Käytä nyt IBP: tä punaisella aikavälillä.

#u (x) = sin (x) tarkoittaa u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x tarkoittaa v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Ryhmittele integraalit yhteen:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

Siksi

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Päästää # I = inte ^ xcosxdx #

Käytämme, Osien integroinnin sääntö #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Me otamme, # u = cosx, ja v = e ^ x #.

Siten, # (du) / dx = -sinx, ja intvdx = e ^ x #. Siksi, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

Löytää # J #, käytämme samaa sääntöä, mutta nyt # U = sinx #, &, # V = e ^ x #, saamme,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Sub.ing tähän # I #, meillä on, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, so.

# 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, tai

# I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Nauti matematiikasta.

Vastaus:

# E ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Selitys:

Päästää # I = e ^ xcosxdx, ja J = inte ^ xsinxdx #

IBP: n käyttäminen #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, kanssa,

# u = cosx ja, v = e ^ x #, saamme, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ xdx = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, so.

# I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

IBP: ssä jälleen vuonna # J # saamme, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, täten, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Ongelmien #(1) & (2)# varten #I ja J #, meillä on, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, ja J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Nauti matematiikasta.