Miten integroit tämän? X dx (x²-x + 1) Olen jumissa tässä osassa (ladattu kuva)

Vastaus:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Selitys:

Jatkaminen …

Päästää # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Käyttämällä antivivatiivista, mitä muistiin pitäisi sitoutua …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Tämä on hankala pieni integraali, eikä ratkaisu näy ilmeiseltä aluksi. Koska tämä on murto-osa, voimme yrittää harkita osittaisten fraktioiden käyttöä, mutta nopea analyysi osoittaa, että tämä ei ole mahdollista, koska # X ^ 2-x + 1 # ei ole faktoroitavissa.

Yritämme saada tämä kiinteä osa muotoa, jota voimme todella integroida. Huomaa samankaltaisuus # Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # ja # Int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; tiedämme, että jälkimmäinen integraali arvioi # Arctanx + C #. Siksi yritämme saada # X ^ 2-x + 1 # Muodossa xk (x-a) ^ 2 + 1 #, ja sitten # Arctanx # sääntö.

Meidän on täytettävä neliö # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(hyvin sotkuinen, tiedän)

Nyt kun meillä on haluamasi muoto, voimme toimia seuraavasti:

# Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #