Miten integroit f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) osittaisjakeilla?

Vastaus:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Selitys:

Koska nimittäjä on jo huomioitu, kaikki osatekijät on ratkaistava vakioille:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Huomaa, että tarvitsemme molemmat # X # ja vakiotermi vasemmalla eniten murto-osalla, koska lukija on aina 1 astetta pienempi kuin nimittäjä.

Voisimme moninkertaistaa vasemmanpuoleisen nimittäjän kautta, mutta se olisi valtava määrä työtä, joten voimme olla älykkäitä ja käyttää peitto-menetelmää.

En mene prosessin läpi yksityiskohtaisesti, mutta lähinnä se, mitä me teemme, on selvittää, mikä tekee nimittäjästä nollan (jos kyseessä on # C # se on # X = 3 #) ja kytkeä se vasemmalle puolelle ja arvioi samalla peittämällä vakioarvoa vastaava tekijä seuraavasti:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (teksti (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Voimme tehdä samoin # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (teksti (////))) = 35/51 #

Peitto-menetelmä toimii vain lineaarisille tekijöille, joten meidän on pakko ratkaista # A # ja # B # käyttäen perinteistä menetelmää ja kertomalla vasemmanpuoleisen nimittäjän avulla:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Jos kerromme läpi kaikki suluissa ja rinnastamme kaikki eri kertoimet # X # ja jatkuvasti, voimme selvittää arvot # A # ja # B #. Se on melko pitkä laskenta, joten jätän linkin kaikille, jotka ovat kiinnostuneita:

Klikkaa tästä

# A = -79 / 561 #

# B = -94/561 #

Tämä antaa meille olennaisen:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) x # #

Kaksi ensimmäistä voidaan ratkaista käyttämällä nimittäjien melko yksinkertaisia u-substituutioita:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) x #

Voimme jakaa jäljellä olevan integraalin kahteen:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) x + int 94 / (x ^ 2 + 2) x #

Soitan vasemman yhden Integral 1: n ja oikean Integral 2: n.

Integral 1

Voimme ratkaista tämän integraalin u-korvaamalla # U = x ^ 2 + 2 #. Johdannainen on # 2x #, joten jaamme ne # 2x # integroida suhteessa # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79-kertainen peruutus (x) / (2kpl (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Haluamme saada tämän integraalin muotoon # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) tt = tan ^ -1 (t) + C #

Jos esitämme korvaavan # X = sqrt2u #, voimme muuttaa integraalimme tähän muotoon. Integroida suhteessa # U #, meidän on kerrottava # Sqrt2 # (koska otimme johdannaisen suhteessa # U # sijasta # X #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Alkuperäisen integraalin viimeistely

Nyt kun tiedämme, mitä Integral 1 ja Integral 2 vastaavat, voimme suorittaa alkuperäisen kokonaisuuden, jotta saamme lopullisen vastauksen:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #