Kolmiossa on kulmat (4, 1), (2, 4) ja (0, 2) #. Mitkä ovat kolmion kohtisuorien bisektorien päätepisteet?

Vastaus:

Helpot päätepisteet ovat keskipisteitä, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# ja vaikeammat ovat, joissa bisektoreita kohtaavat toiset puolet, mukaan lukien #(8/3,4/3).#

Selitys:

Kolmion kohtisuorilla bisektoreilla tarkoitamme oletettavasti kolmion molemmin puolin kohtisuoraa bisektoria. Joten on kolme kohtisuoraa bisektoria jokaista kolmiota varten.

Jokaisen kohtisuoran bisektorin on määriteltävä leikkaamaan yhden puolen keskipisteessään. Se leikkaa myös toisen puolen. Oletamme, että nämä kaksi kohtaa ovat päätepisteitä.

Keskipisteet ovat

# D = fr 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = fr 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = fr 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Tämä on luultavasti hyvä paikka oppia rivien ja viivasegmenttien parametrisista esityksistä. # T # on parametri, joka voi vaihdella reaaliaikojen (linjan) tai #0# että #1# linjan segmentille.

Merkitään kohdat #A (4,1) #, #B (2,4) # ja #C (0,2) #. Kolme puolta ovat:

# AB: (x, y) = (1-t) A + B #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4 t, 1 + t) #

Kuten # T # kulkee nollasta yhteen, jonka jäljitämme kummallakin puolella.

Tehdään yksi ulos. # D # on keskipiste # BC #, # D = fr 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Suuntavektori C: stä B: hen on # B-C = (2,2) #. Kohtisuorassa, käännämme kaksi kerrointa (ei vaikutusta täällä, koska ne ovat molemmat #2#) ja kumota yksi. Niinpä parametrinen yhtälö kohtisuorassa

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Eri linja, eri parametri.) Näemme, missä tämä kohtaa jokaisen sivun.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # varmistaa, että kohtisuoran bisektorin kohtaus kohtaa BC: n keskipisteessä.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

vähentämällä, # t = 2-3 = - 1 #

Se on alueen ulkopuolella, joten BC: n kohtisuorassa bisektorissa ei osu puolelle AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

vähentämällä, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Tämä antaa toiselle päätepisteelle

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Tämä on pitkä, joten jätän kaksi muuta päätepistettä sinulle.