Kolmiossa on kulmat A, B ja C, jotka sijaitsevat vastaavasti kohdassa (3, 5), (2, 9) ja (4, 8). Mitkä ovat päätepisteet ja korkeus kulmassa C?

Vastaus:

Endpoints #(4,8)# ja #(40/17, 129/17) # ja pituus # 7 / sqrt {17} #.

Selitys:

Olen ilmeisesti asiantuntija kahden vuoden ikäisiin kysymyksiin vastaamisessa. Jatketaan.

Korkeus C: n kautta on kohtisuorassa AB: n C: n kanssa.

On olemassa muutamia tapoja tehdä tämä. Voimme laskea AB: n kaltevuuden #-4,# sitten kohtisuoran kaltevuus on #1/4# ja voimme löytää kohtisuoran kohtisuoran C: n ja linjan kautta A: n ja B: n kautta. Kokeile toista tapaa.

Kutsumme kohtisuoran jalka #F (x, y) #. Tiedämme, että suunta-vektorin CF pistetuote suuntaan vektori AB on nolla, jos ne ovat kohtisuorassa:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Se on yksi yhtälö. Toinen yhtälö sanoo #F (x, y) # on linjalla A ja B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

He kohtaavat, kun

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Korkeuden CF pituus on

#h = qrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Tarkistetaan tämä laskemalla alue kengännauha-kaavalla ja sitten ratkaisemalla korkeus. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = fr 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #