Miten käytät Integral-testiä määrittämään sarjan konvergenssi tai divergenssi: summa n e ^ -n n = 1: stä äärettömään?

Vastaus:

Ota integraali # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, joka on rajallinen, ja huomaa, että se rajoittaa #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Siksi se on lähentyvä #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # on myös.

Selitys:

Integroidun testin muodollinen lausunto toteaa, että jos #fin 0, oo) rightarrowRR # monotoninen funktio, joka ei ole negatiivinen. Sitten summa #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # on yhdenmukainen, jos ja vain jos # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # on rajallinen. (Tau, Terence. Analyysi I, toinen painos. Hindustanin kirjavirasto. 2009).

Tämä lausunto saattaa tuntua hieman tekniseltä, mutta ajatus on seuraava. Tässä tapauksessa toiminto #F (x) = XE ^ (- x): #, huomaamme, että #X> 1 #, tämä toiminto vähenee. Näemme tämän ottamalla johdannaisen. #f '(x) = e ^ (- x): -Xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, siitä asti kun #X> 1 #, niin # (1-x) <0 # ja #E ^ (- x)> 0 #.

Tämän vuoksi huomaamme, että se on mikä tahansa #ninNN _ (> = 2) # ja #x kohdassa 1, oo # niin että #x <= n # meillä on #f (x)> = f (n) #. Siksi #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, niin #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# Int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - XE ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ onin synteesi ^ (-x) dx ## = - XE ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / E # käyttämällä integrointia osittain ja sitä #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) XE ^ -x = 0 #.

Siitä asti kun #f (x)> = 0 #, meillä on # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, niin #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Siitä asti kun #f (n)> = 0 #, sarja #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # kasvaa kuten # N # lisääntyy. Koska se rajoittuu # 3 / E #, sen on lähentynyt. Siksi #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # suppenee.

U_1, u_2, u_3, ... ovat Geometrinen eteneminen (GP). Sarjan termien yleinen suhde on K.Now määrittää sarjan u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) K: n ja u_1: n muodossa?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Geometrisen etenemisen yleinen termi voidaan kirjoittaa: a_k = ar ^ (k-1), jossa a on alkutermi ja r yhteinen suhde. Summa n-ehtoihin on annettu kaavalla: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) -väri (valkoinen) () Kun kysymyksessä annetut tiedot ovat, u_k: n yleinen kaava voi olla kirjoitettu: u_k = u_1 K ^ (k-1) Huomaa: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Joten: summa_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = summa_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) väri (valkoinen) (summa_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k +1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K

Miten löydän tämän sarjan konvergenssin tai eron? summa 1: stä äärettömään 1 / n ^ lnn

Se konvergoituu Harkitse sarjan summaa (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, jossa p> 1. P-testillä tämä sarja konvergoituu. Nyt 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p kaikille riittävän suurille n, kunhan p on äärellinen arvo. Täten suora vertailutesti, sum_ (n = 1) ^ oo / n ^ ln n yhtyy. Itse asiassa arvo on noin 2,2381813.

Onko sarjan arvo__ (n = 0) ^ viimeinen / ((2n + 1)!) Täysin konvergenssi, ehdollisesti konvergenssi tai poikkeava?

"Vertaa sitä" summ_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... "Jokainen termi on yhtä suuri tai pienempi kuin" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... "Kaikki termit ovat positiivisia, joten sarjan summa S on välillä" 0 <S <e = 2,7182818 .... "Joten sarja on ehdottomasti yhtenevät."