Voiko funktio olla jatkuvaa ja ei-erottuvaa tietyllä verkkotunnuksella?

Vastaus:

Joo.

Selitys:

Yksi merkittävimpiä esimerkkejä tästä on Weierstrass-toiminto, jonka Karl Weierstrass löysi ja jonka hän määritteli alkuperäisessä paperissaan seuraavasti:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

missä # 0 <a <1 #, # B # on positiivinen pariton kokonaisluku ja #ab> (3pi + 2) / 2 #

Tämä on erittäin spiky-toiminto, joka on jatkuva kaikkialla Real-rivillä, mutta joka on eriytettävä missään.

Vastaus:

Kyllä, jos sillä on "taivutettu" piste. Yksi esimerkki on #F (x) = | x | # at # X_0 = 0 #

Selitys:

Jatkuva toiminta tarkoittaa käytännössä piirtämistä ottamatta kynää pois paperista. Matemaattisesti se tarkoittaa sitä, että jokaiselle # X_0 # arvot #F (x_0) # koska heitä lähestytään äärettömän pienillä # Dx # vasemmalta ja oikealta on oltava sama:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

jossa miinusmerkki tarkoittaa lähestymistä vasemmalta ja plusmerkki tarkoittaa lähestymistä oikealta.

Erottuva toiminto tarkoittaa käytännössä funktiota, joka muuttaa tasaisesti kaltevuuttaan (EI vakionopeudella). Siksi funktio, joka ei ole erotteleva tietyssä pisteessä, tarkoittaa käytännössä sitä, että se muuttuu äkillisesti sen kaltevuudesta vasemmalta puolelta oikealle.

Katsotaanpa 2 toimintoa.

#f (x) = x ^ 2 # at # X_0 = 2 #

kaavio

kaavio {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Kuvaaja (zoomattu)

kaavio {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Siitä lähtien # X_0 = 2 # kaavio voidaan muodostaa ottamatta lyijykynää pois paperista, toiminto on jatkuva tässä vaiheessa. Koska se ei ole taivutettu siinä vaiheessa, se on myös erotteleva.

#G (x) = | x | # at # X_0 = 0 #

kaavio

graph {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

at # X_0 = 0 # toiminto on jatkuva, koska se voidaan vetää ottamatta lyijykynää pois paperista. Koska se kuitenkin tunkeutuu tuohon aikaan, toiminto ei ole erilaista.