Mikä on raja lim_ (x-> 0) sin (x) / x? + Esimerkki

Mikä on raja lim_ (x-> 0) sin (x) / x? + Esimerkki
Anonim

#lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1 #. Määritämme tämän käyttämällä L'Hospitalin sääntöä.

Parafraseen L'Hospitalin sääntö sanoo, että kun annetaan lomakkeen raja #lim_ (x-> a) f (x) / g (x) #, missä #fa)# ja #G (a) # ovat arvoja, jotka aiheuttavat raja-arvon määrittelemättömäksi (useimmiten, jos molemmat ovat 0 tai jonkinlainen # Oo #) niin kauan kuin molemmat toiminnot ovat jatkuvia ja eriytettävissä # A #, voidaan sanoa

#lim_ (x-> a) f (x) / g (x) = lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) #

Tai sanoilla kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin niiden johdannaisten osamäärän raja.

Esitetyssä esimerkissä meillä on #f (x) = sin (x) # ja #g (x) = x #. Nämä toiminnot ovat jatkuvia ja erottuvia lähellä # X = 0 #, #sin (0) = 0 # ja #(0) = 0#. Näin ollen meidän alkuperäinen #f (a) / g (a) = 0/0 =? #. Siksi meidän pitäisi hyödyntää L'Hospitalin sääntöä. # d / dx sin (x) = cos (x), d / dx x = 1 #. Täten…

#lim_ (x-> 0) sin (x) / x = lim_ (x-> 0) cos (x) / 1 = cos (0) / 1 = 1/1 = 1 #