Näytä, että 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... äärettömään = 3 ^ (3/4).

Näytä, että 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... äärettömään = 3 ^ (3/4).
Anonim

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

kanssa

#S = summa_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Tiedämme sen #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) summa_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

ja myös #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # ja # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # sitten

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # ja varten #x = 1/3 # meillä on

#S = 3/4 # sitten lopulta

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #