Kolmion kulmissa on kulmat (3 pi) / 8 ja pi / 8. Jos kolmion toisella puolella on 3 pituus, mikä on kolmion pisin mahdollinen kehä?

Kolmion kulmissa on kulmat (3 pi) / 8 ja pi / 8. Jos kolmion toisella puolella on 3 pituus, mikä on kolmion pisin mahdollinen kehä?
Anonim

Ensinnäkin huomaamme, että jos kaksi kulmaa ovat # Alfa = pi / 8 # ja # Beeta = (3pi) / 8 #, koska kolmion sisäisten kulmien summa on aina # Pi # kolmas kulma on: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, joten tämä on oikea kolmio.

Enimmäisrajan maksimoimiseksi tunnetun puolen on oltava lyhyempi katetti, joten se on vastapäätä pienintä kulmaa, joka on # Alpha #.

Kolmannen hypotenuse on sitten:

# c = a / sin alpha = 3 / sin (pi / 8) #

missä #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

kun taas toinen katetus on:

#b = a / tan (pi / 8) #

missä #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2))

# B = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Lopuksi:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1 sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #