Vastaus:
Parabolan yhtälö on # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Selitys:
Symmetria-akselina on # X + y + 1 = 0 # ja keskitytään siihen, jos painopiste on # P #, ordinaatti on # - (p + 1) # ja tarkennuksen koordinaatit # (P, - (p + 1)) #.
Lisäksi suuntaus on kohtisuorassa symmetria-akseliin ja sen yhtälö olisi muodoltaan # X-y-+ k = 0 #
Koska jokainen parabolan piste on yhtä kaukana tarkennuksesta ja suuntaviivasta, sen yhtälö on
# (X-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Tämä parabola kulkee #(0,0)# ja #(0,1)# ja siten
# P ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) ja
# P ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Vähennetään (1) (2), saamme
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, joka antaa # K = -2p-5/2 #
Tämä vähentää parabolan yhtälöä # (X-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2-p-5/2) ^ 2/2 #
ja kun se kulkee #(0,0)#, saamme
# P ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # tai # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
toisin sanoen # 6p = -17/4 # ja # P = -17 / 24 #
ja siten # K = -2xx (-17/24) -5/2 = -13/12 #
ja parabolan yhtälö
# (X + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # ja kertomalla #576=24^2#, saamme
tai # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
tai # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144X ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
tai # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
tai # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
kaavio {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11,42, 8,58, -2,48, 7,52}
