Jos rullaat yhden kuoleman, mikä on odotettavissa oleva rullien lukumäärä, jotta jokainen numero voidaan laskea kerran?

Vastaus:

# 14.7 "rullaa" #

Selitys:

#P "kaikki numerot heitetty" = 1 - P "1,2,3,4,5 tai 6 ei heitetty" #

#P "A tai B tai C tai D tai E tai F" = P A + P B + … + P F - #

#P A ja B - P A ja C …. + P A ja B ja C + … #

# "Tässä tämä on" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Tämän kielteinen on todennäköisyys." #

#sum n * a ^ (n-1) = summa (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) summa a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = summa n * P "kaikki numerot, jotka heitetään n heittojen jälkeen" #

# = summa n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Meidän on vähennettävä yksi aloitustilan vuoksi P_1 (0)" #

# "antaa viallisen arvon P = 1 n = 1: lle." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Vastaus:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Selitys:

Ajattele sitä kuin kuusi minipeliä. Jokaisen pelin kohdalla rullaamme kuoleman, kunnes rullaamme numeron, jota ei ole vielä rullattu - mitä me kutsumme "voitoksi". Sitten aloitamme seuraavan pelin.

Päästää # X # on niiden rullien lukumäärä, joita tarvitaan jokaisen numeron pyörittämiseksi vähintään kerran (eli voittaa kaikki 6 minipeliä) ja anna # X_i # on niiden rullien lukumäärä, jotka tarvitaan minipelien numeron "voittamiseksi" # I # (varten # I # 1 - 6). Sitten kukin # X_i # on geometrinen satunnaismuuttuja jakelulla # "Geo" (p_i) #.

Jokaisen geometrisen satunnaismuuttujan odotettu arvo on # 1 / p_i #.

Ensimmäistä peliä, # p_1 = 6/6 # koska kaikki 6 lopputulosta ovat "uusia". Täten, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Toista peliä varten viisi kuudesta tuloksesta on uusia # P_2 = 5/6 #. Täten, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Kolmannesta pelistä neljä kuudesta mahdollisesta rullasta on uusia # P_3 = 4/6 #, merkitys # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Tässä vaiheessa voimme nähdä mallin. Koska "voittavien" rullojen lukumäärä laskee 1: llä jokaisesta uudesta pelistä, jokaisen pelin "voittamisen" todennäköisyys laskee #6/6# että #5/6#sitten #4/6#, jne., mikä tarkoittaa, että odotettavissa oleva rullien määrä per peli #6/6# että #6/5#, jotta #6/4#, ja niin edelleen, kunnes viimeinen peli, jossa odotamme, että se ottaa 6 rullia saada viimeinen numero.

Täten:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (valkoinen) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (valkoinen) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (valkoinen) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (valkoinen) ("E" (X)) = 14,7 #