Jos mahdollista, etsi funktio f siten, että grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Vastaus:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Selitys:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Nyt ota" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Sitten meillä on yksi ja sama f, joka täyttää ehdot." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Vastaus:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Selitys:

Kysymyksessä on huono merkintä, koska del operaattori (tai gradienttioperaattori) on vektori-differentiaalinen operaattori, Etsimme toimintoa #f (x, y) # siten, että:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Missä #BB (grad) # on gradienttioperaattori:

# "grad" f = bb (grad) f = (osittainen f) / (osittainen x) bb (ul hattu i) + (osittainen f) / (osittainen x) bb (ul hattu j) = << f_x, f_y> > #

Mistä vaadimme, että:

# f_x = (osittainen f) / (osittainen x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t ….. A

# f_y = (osittainen f) / (osittainen y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Jos integroimme A wrt # X #, kun hoidat # Y # vakiona saamme:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 x #

# x = 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Jos integroimme B wrt # Y #, kun hoidat # X # vakiona saamme:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5

# 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Missä #U (y) # on mielivaltainen toiminto # Y # yksin, ja #V (x) # on mielivaltainen # X # yksin.

Vaadimme tietysti, että nämä toiminnot ovat samat, joten meillä on:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Ja niin me valitsemme #v (x) = x ^ 4 # ja #U (y) = y ^ 6 #, joka antaa meille ratkaisumme:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Voimme helposti vahvistaa ratkaisun laskemalla osittaiset johdannaiset:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED