Miten löydän integraalin int (ln (x)) ^ 2dx?

Tavoitteenamme on vähentää voimaa #ln x # siten, että integraali on helpompi arvioida.

Voimme saavuttaa tämän käyttämällä integrointia osittain. Muista IBP-kaava:

#int u dv = uv - int v du #

Nyt annamme #u = (lnx) ^ 2 #, ja #dv = dx #.

Siksi, #du = (2 lnx) / x dx #

ja

#v = x #.

Nyt kootessamme palat yhteen, saamme:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Tämä uusi integraali näyttää paljon paremmalta! Yksinkertaistaminen ja vakion ulottaminen eteen: tuotto:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Nyt päästä eroon tästä seuraavasta integraatista teemme toisen integroinnin osien avulla #u = ln x # ja #dv = dx #.

Täten, #du = 1 / x dx # ja #v = x #.

Kokoonpano antaa meille:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Nyt kaikki, mitä on jäljellä, on yksinkertaistaa ja pitää mielessä lisätä integraation vakio:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Ja meillä on se. Muista, että osien integroiminen koskee vain poimimista # U # niin että sotkuiset asiat poistuvat integraalista. Tässä tapauksessa toimme # (ln x) ^ 2 # alas #ln x #ja sitten alas # 1 / x #. Lopulta jotkut # X #on peruutettu pois, ja se oli helpompi integroida.