Mikä on pienin kokonaisluku n, että n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Vastaus:

# N = 8075 #

Selitys:

Päästää #v_p (k) # olla moninaisuus # P # tekijänä # K #. Tuo on, #v_p (k) # on suurin kokonaisluku niin, että # P ^ (v_p (k)) | k #.

havaintoja:

• Mille tahansa #k ZZ ^ +: ssa ja # P # meillä on #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Tämä voidaan helposti todistaa induktiolla)

• Mikä tahansa kokonaisluku #k> 1 #, meillä on # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Tämä on intuitiivinen, kuten usean kerran #2# esiintyy useammin kuin vastaavien valtuuksien kerrannaisia #5#, ja se voidaan osoittaa tiukasti käyttämällä vastaavaa argumenttia)

• varten #j, k ZZ ^ +: ssa, meillä on #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # jokaiselle ensisijaiselle jakajalle # P # of # J #.

Tavoitteenamme on löytää vähiten kokonaisluku # N # niin että # 10 ^ 2016 | n! #. Kuten # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, sitten kolmannen havainnon avulla meidän on vain vahvistettava se # 2016 <= v_2 (n!) # ja # 2016 <= v_5 (n!) #. Toinen havainto tarkoittaa sitä, että jälkimmäinen merkitsee sitä. Siten riittää, että löydetään vähiten kokonaisluku # N # niin että # v_5 (n!) = summa_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Löytää # N # teemme havainnon, jonka avulla voimme laskea # V_5 (5 ^ k!) #.

Välillä #1# ja # 5 ^ k #, on # 5 ^ k / 5 # kerran #5#, joista jokainen osallistuu ainakin #1# summaan #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Siellä on myös # 5 ^ k / 25 # kerran #25#, joista jokainen osallistuu lisäkustannuksiin #1# summaan alkuperäisen laskun jälkeen. Voimme edetä tällä tavalla, kunnes saavutamme yhden kerran # 5 ^ k # (mikä on # 5 ^ k # itse), joka on vaikuttanut # K # kertaa. Laskemalla summa tällä tavalla, meillä on

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = summa_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = summa_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Näin löydämme sen # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Lopuksi löydämme # N # niin että # v_5 (n!) = 2016 #. Jos laskemme # V_5 (5 ^ k!) # useita arvoja # K #, löydämme

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Kuten #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # tarvitsee kaksi "lohkoa" #5^5#, kaksi #5^4#, neljä #5^3#ja kolme #5^2#. Näin saamme

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Tietokone voi tarkistaa sen nopeasti #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Täten #10^2016 | 8075!#, ja kuten #5|8075!# moninaisuudella #2016# ja #5|8075#, on selvää, että pienempi arvo ei riitä.